Um corpo é jogado verticalmente para baixo com velocidade v0. Na primeira metade do caminho gastou o dobro do tempo que na segunda metade. De que altura foi jogado o corpo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um corpo que é jogado verticalmente para baixo com uma velocidade inicial . A parte importante é que na primeira metade do caminho ele gasta o dobro do tempo que na segunda metade. Nosso objetivo é descobrir de que altura o corpo foi lançado. Vamos precisar usar os conceitos de cinemática para resolver isso, especialmente as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a altura total em duas partes iguais, já que estamos falando da primeira e da segunda metade do caminho. Assim, cada metade da altura é .

Passo 3

Vamos chamar o tempo que o corpo leva para percorrer a primeira metade de e o tempo que leva para a segunda metade de . Segundo o enunciado, .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação da posição para o movimento vertical com aceleração constante (aceleração da gravidade s = v0 t + 12 g t^2 ):
h2 = v0 t1 + 12 g t1^2
Para a primeira metade do caminho:
v1 = v0 + g t1
Para a segunda metade do caminho, precisamos considerar que a velocidade inicial é diferente, já que o corpo já ganhou velocidade na primeira metade. A velocidade no início da segunda metade ( h2 = v1 t2 + 12 g t2^2 = (v0 + g t1) t2 + 12 g t2^2 ) é:
Então, para a segunda metade:

Passo 5

Substituímos h2 = v0 (2 t2) + 12 g (2 t2)^2 Rightarrow h2 = 2 v0 t2 + 2 g t2^2 nas duas equações:
h2 = (v0 + g (2 t2)) t2 + 12 g t2^2 Rightarrow h2 = v0 t2 + 2 g t2^2 + 12 g t2^2
h2 = v0 t2 + 52 g t2^2
Simplificando a segunda equação:

Passo 6

Agora, temos duas expressões para 2 v0 t2 + 2 g t2^2 = v0 t2 + 52 g t2^2 . Vamos igualá-las:
v0 t2 - 12 g t2^2 = 0
Subtraindo t2 (v0 - 12 g t2) = 0 de ambos os lados:
v0 - 12 g t2 = 0 Rightarrow t2 = 2 v0g
Fatorando :
Desconsiderando (pois não faz sentido o tempo ser zero), temos:

Passo 7

Agora que encontramos ttotal = t1 + t2 = 2 t2 + t2 = 3 t2 = 3 ( 2 v0g ) = 6 v0g , podemos achar o tempo total :

Passo 8

Por fim, usamos a equação da posição com o tempo total para encontrar a altura h = v0 ttotal + 12 g ttotal^2 = v0 ( 6 v0g ) + 12 g ( 6 v0g )^2 :
h = 6 v0^2g + 18 v0^2g = 24 v0^2g
Simplificando:

Resposta

A altura de onde o corpo foi jogado é:
h = 24, v0^2g

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