Um corpo é jogado verticalmente para baixo com velocidade
. Na primeira metade do caminho gastou o dobro do tempo que na segunda metade. De que altura foi jogado o corpo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um corpo que é jogado verticalmente para baixo com uma velocidade inicial
. A parte importante é que na primeira metade do caminho ele gasta o dobro do tempo que na segunda metade. Nosso objetivo é descobrir de que altura
o corpo foi lançado. Vamos precisar usar os conceitos de cinemática para resolver isso, especialmente as equações do movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a altura total
em duas partes iguais, já que estamos falando da primeira e da segunda metade do caminho. Assim, cada metade da altura é
.
Passo 3
Vamos chamar o tempo que o corpo leva para percorrer a primeira metade de
e o tempo que leva para a segunda metade de
. Segundo o enunciado,
.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação da posição para o movimento vertical com aceleração constante (aceleração da gravidade
):
Para a primeira metade do caminho:
Para a segunda metade do caminho, precisamos considerar que a velocidade inicial é diferente, já que o corpo já ganhou velocidade na primeira metade. A velocidade no início da segunda metade (
) é:
Então, para a segunda metade:
Passo 5
Substituímos
nas duas equações:
Simplificando a segunda equação:
Passo 6
Agora, temos duas expressões para
. Vamos igualá-las:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Desconsiderando
(pois não faz sentido o tempo ser zero), temos:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos achar o tempo total
:
Passo 8
Por fim, usamos a equação da posição com o tempo total para encontrar a altura
:
Simplificando:
Resposta
A altura de onde o corpo foi jogado é: