Se um objeto percorre um quarto do percurso total no último segundo de sua queda tendo partido do repouso, determine (a) o tempo e altura da queda (b) a velocidade do objeto um segundo antes de atingir o solo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto que cai livremente, ou seja, está caindo sob a influência da gravidade sem resistência do ar. O problema diz que no último segundo da queda, o objeto percorre um quarto do caminho total. Nosso objetivo é descobrir (a) o tempo total da queda e a altura total que ele cai, e (b) a velocidade do objeto um segundo antes de bater no chão. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado com aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nossa conta:
  • Seja o tempo total da queda em segundos.
  • A altura total da queda será .
Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial .

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula da posição no movimento uniformemente acelerado:
h = v0 t + 12 g t^2
Como h = 12 g T^2 , a fórmula simplifica para:
Aqui, é a aceleração da gravidade, que vamos considerar como .

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância que o objeto percorre no último segundo da queda. Isso é ú:
ú
Simplificando essa expressão:
ú

Passo 5

Segundo o enunciado, essa distância 12 g (2T - 1) = 14 ( 12 g T^2 ) ú é um quarto da altura total :
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar as frações:
2 g (2T - 1) = g T^2
Dividindo ambos os lados por 2(2T - 1) = T^2 (já que 4T - 2 = T^2 ):
Expandindo:

Passo 7

Rearranjando a equação para formar uma equação quadrática:
T^2 - 4T + 2 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
T = 4 pm raiz16 - 82 = 4 pm raiz82 = 4 pm 2raiz22 = 2 pm raiz2

Passo 8

Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
T = 2 + raiz2 approx 3,414 , segundos

Passo 9

Agora que temos h = 12 g T^2 = 12 times 9,8 times (2 + raiz2)^2 , vamos calcular a altura total h = 12 times 9,8 times (6 + 4raiz2) approx 4,9 times (6 + 5,657) approx 4,9 times 11,657 approx 57,04 , metros :
Calculando

Resposta

(a) O tempo total da queda é aproximadamente v = g(T - 1) = 9,8 times (3,414 - 1) approx 9,8 times 2,414 approx 23,68 , m/s segundos e a altura total caída é cerca de metros.
(b) A velocidade do objeto um segundo antes de atingir o solo é:

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