Se um objeto percorre um quarto do percurso total no último segundo de sua queda tendo partido do repouso, determine (a) o tempo e altura da queda (b) a velocidade do objeto um segundo antes de atingir o solo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto que cai livremente, ou seja, está caindo sob a influência da gravidade sem resistência do ar. O problema diz que no último segundo da queda, o objeto percorre um quarto do caminho total. Nosso objetivo é descobrir (a) o tempo total da queda e a altura total que ele cai, e (b) a velocidade do objeto um segundo antes de bater no chão. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado com aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar nossa conta:
- Seja
o tempo total da queda em segundos. - A altura total da queda será
.
Como o objeto parte do repouso, a velocidade inicial
.
Passo 3
Vamos lembrar a fórmula da posição no movimento uniformemente acelerado:
Como
, a fórmula simplifica para:
Aqui,
é a aceleração da gravidade, que vamos considerar como
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância que o objeto percorre no último segundo da queda. Isso é
:
Simplificando essa expressão:
Passo 5
Segundo o enunciado, essa distância
é um quarto da altura total
:
Vamos simplificar essa equação para encontrar
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar as frações:
Dividindo ambos os lados por
(já que
):
Expandindo:
Passo 7
Rearranjando a equação para formar uma equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 8
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Passo 9
Agora que temos
, vamos calcular a altura total
:
Calculando
Resposta
(a) O tempo total da queda é aproximadamente
segundos e a altura total caída é cerca de
metros.
(b) A velocidade do objeto um segundo antes de atingir o solo é: