Um ponto se move no plano x y, segundo a lei x=beta t, y=beta t(1-alpha t), onde beta e alpha são constantes positivas e t é o tempo. Encontre (a) a trajetória y(x) e faça o gráfico desta função (b) a veolocidade v(t) e aceleração a(t) © o momento t0 em que o vetor velocidade forma um ângulo de pi / 4 com o vetor aceleração (d) o momento t0 em que o vetor velocidade forma um ângulo de pi / 2 com o vetor aceleração

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento no plano XY! A gente tem a posição de um ponto dada pelas equações e , onde e são constantes positivas, e é o tempo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, como trajetória, velocidade e aceleração, além de entender como vetores interagem. Vamos por partes!

Passo 2

(a) Encontrar a trajetória t = xbeta e fazer o gráfico

Primeiro, queremos expressar y = beta t (1 - alpha t) = beta ( xbeta ) ( 1 - alpha ( xbeta ) ) em função de y = x (1 - alphabeta x ) = x - alphabeta x^2 , ou seja, y(x) = x - alphabeta x^2 . Já temos , então podemos resolver para :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Simplificando:
Então, a trajetória é:
Para fazer o gráfico dessa função, podemos observar que é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de �� negativo). Ela começa no ponto de origem , sobe até um ponto máximo e depois desce.

Passo 3

(b) Calcular a velocidade vx = dxdt = beta e a aceleração vy = dydt = beta (1 - alpha t) + beta t (-alpha) = beta (1 - 2alpha t)

Velocidade v(t) = ( beta, beta (1 - 2alpha t) ) :
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Temos as componentes de v(t) = raizvx^2 + vy^2 = raizbeta^2 + beta^2 (1 - 2alpha t)^2 e v(t) = beta raiz1 + (1 - 2alpha t)^2 :
ax = dvxdt = 0
ay = dvydt = -2beta alpha
Então, a velocidade total é o vetor:
a(t) = ( 0, -2beta alpha )
A magnitude da velocidade é:
a(t) = raiz0^2 + (-2beta alpha)^2 = 2beta alpha
Simplificando:
Aceleração :
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar as componentes da velocidade:
Então, a aceleração total é:
A magnitude da aceleração é:

Passo 4

© Encontrar o momento cos theta = v cdot a|v| |a| em que o vetor velocidade forma um ângulo de v(t) cdot a(t) = beta cdot 0 + beta (1 - 2alpha t) cdot (-2beta alpha) = -2beta^2 alpha (1 - 2alpha t) com o vetor aceleração

Queremos que o ângulo entre |v(t)| = beta raiz1 + (1 - 2alpha t)^2 e |a(t)| = 2beta alpha seja -2beta^2 alpha (1 - 2alpha t)beta raiz1 + (1 - 2alpha t)^2 cdot 2beta alpha = - (1 - 2alpha t)raiz1 + (1 - 2alpha t)^2 = raiz22 .
A fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores é:
- (1 - 2alpha t) = raiz22 raiz1 + (1 - 2alpha t)^2
Queremos (1 - 2alpha t)^2 = 24 (1 + (1 - 2alpha t)^2) Rightarrow (1 - 2alpha t)^2 = 12 (1 + (1 - 2alpha t)^2) . Vamos calcular o produto interno:
2(1 - 2alpha t)^2 = 1 + (1 - 2alpha t)^2 Rightarrow (1 - 2alpha t)^2 = 1
E as magnitudes já sabemos:
1 - 2alpha t = pm 1
Substituindo na equação do cosseno:
Resolvendo:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então:
Resolvendo para :
Como é o instante inicial, o momento é .

Passo 5

(d) Encontrar o momento v(t) cdot a(t) = 0 em que o vetor velocidade forma um ângulo de v(t) cdot a(t) = -2beta^2 alpha (1 - 2alpha t) = 0 com o vetor aceleração

Queremos que o ângulo entre 1 - 2alpha t = 0 Rightarrow t = 12alpha e seja , ou seja, que sejam perpendiculares.
Usando a fórmula do produto interno:
Já calculamos:
Isso acontece quando:
Então, o momento é .

Resposta

(a) A trajetória é .
(b) A velocidade é e a aceleração é .
© O momento é quando o ângulo é .
(d) O momento é quando o ângulo é .

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