Um ponto se move no plano
, segundo a lei
, onde
e
são constantes positivas e
é o tempo. Encontre (a) a trajetória
e faça o gráfico desta função (b) a veolocidade
e aceleração
© o momento
em que
vetor velocidade forma um ângulo de
com o vetor aceleração (d) o momento
em que o vetor velocidade forma um ângulo de
com o vetor aceleração
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento no plano XY! A gente tem a posição de um ponto dada pelas equações
e
, onde
e
são constantes positivas, e
é o tempo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática, como trajetória, velocidade e aceleração, além de entender como vetores interagem. Vamos por partes!
Passo 2
(a) Encontrar a trajetória
e fazer o gráfico
Primeiro, queremos expressar
em função de
, ou seja,
. Já temos
, então podemos resolver para
:
Agora, substituímos esse valor de
na equação de
:
Simplificando:
Então, a trajetória é:
Para fazer o gráfico dessa função, podemos observar que é uma parábola com concavidade para baixo (porque o coeficiente de
�� negativo). Ela começa no ponto de origem
, sobe até um ponto máximo e depois desce.
Passo 3
(b) Calcular a velocidade
e a aceleração
Velocidade
:
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Temos as componentes de
e
:
Então, a velocidade total é o vetor:
A magnitude da velocidade é:
Simplificando:
Aceleração
:
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar as componentes da velocidade:
Então, a aceleração total é:
A magnitude da aceleração é:
Passo 4
© Encontrar o momento
em que o vetor velocidade forma um ângulo de
com o vetor aceleração
Queremos que o ângulo entre
e
seja
.
A fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores é:
Queremos
. Vamos calcular o produto interno:
E as magnitudes já sabemos:
Substituindo na equação do cosseno:
Resolvendo:
Elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então:
Resolvendo para
:
Como
é o instante inicial, o momento
é
.
Passo 5
(d) Encontrar o momento
em que o vetor velocidade forma um ângulo de
com o vetor aceleração
Queremos que o ângulo entre
e
seja
, ou seja, que sejam perpendiculares.
Usando a fórmula do produto interno:
Já calculamos:
Isso acontece quando:
Então, o momento
é
.
Resposta
(a) A trajetória é
.
(b) A velocidade é e a aceleração é
.
© O momento é
quando o ângulo é
.
(d) O momento é
quando o ângulo é
.
(b) A velocidade é
© O momento
(d) O momento