Um objeto é lançado verticalmente para o alto com uma velocidade inicial v0 e no último segundo este percorre um quarto da altura total antes de iniciar a queda livre. Encontre (a) a altura e o tempo total de subida (b) a velocidade do objeto um segundo antes de atingir a altura máxima

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial . Ele menciona que no último segundo de sua subida, o objeto percorre um quarto da altura total antes de começar a cair. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a altura máxima alcançada e o tempo total de subida.
b) Determinar a velocidade do objeto um segundo antes de atingir a altura máxima.
Para resolver isso, vamos usar as equações do Movimento Uniformemente Variado (MUV) na física, considerando a aceleração da gravidade .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no movimento de subida, a velocidade final no ponto mais alto é zero. Usaremos a equação:
v = v0 - g t
Aqui, é a velocidade final (0 no ponto mais alto), é a velocidade inicial, é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), e é o tempo.

Passo 3

Vamos também precisar calcular a altura máxima alcançada. Para isso, usamos a equação:
h = v0 t - 12 g t^2
Essa fórmula nos dá a altura em função do tempo de subida.

Passo 4

Sabemos que no último segundo de subida, o objeto percorre um quarto da altura total. Vamos chamar o tempo total de subida de hT-1 = v0 (T-1) - 12 g (T-1)^2 . Então, a altura percorrida entre h = v0 T - 12 g T^2 e h - hT-1 = 14 h é .
Vamos calcular a altura no tempo :
E a altura total é:
A diferença entre essas alturas é a altura percorrida no último segundo:

Passo 5

Vamos substituir as expressões de (v0 T - 12 g T^2) - (v0 (T-1) - 12 g (T-1)^2) = 14 (v0 T - 12 g T^2) e :
Simplificando essa equação, podemos encontrar o valor de .

Passo 6

Após resolver a equação acima (o que envolve um pouco de álgebra), encontramos que:
T = v0g
Esse é o tempo total de subida, já que o objeto para quando a velocidade atinge zero.

Passo 7

Agora, substituímos h = v0 ( v0g ) - 12 g ( v0g )^2 = v0^2g - v0^22g = v0^22g na equação da altura máxima:
Então, a altura máxima é .

Passo 8

Para a parte (b), queremos a velocidade um segundo antes de atingir a altura máxima. No tempo v = v0 - g (T-1) = v0 - g ( v0g - 1 ) = v0 - v0 + g = g , usando a equação da velocidade:
Então, a velocidade um segundo antes de atingir a altura máxima é igual a .

Resposta

a) A altura máxima alcançada é e o tempo total de subida é .
b) A velocidade do objeto um segundo antes de atingir a altura máxima é .

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