Um corpo é lançado verticalmente para baixo de uma altura h com velocidade inicial v0. No instante de tempo t1 o corpo está na posição y1 e no instante t2 está na posição y2. Determine h e v0 em termos das quantidades dadas.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um corpo que é lançado verticalmente para baixo de uma certa altura com uma velocidade inicial . A gente sabe que, em dois instantes de tempo diferentes ( e ), o corpo está em posições diferentes ( e respectivamente). Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e usando essas informações.
Vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado, já que a aceleração aqui é a da gravidade ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve a posição y(t) = h + v0 t + 12 g t^2 de um objeto em movimento vertical com velocidade inicial e acelerado pela gravidade. A fórmula é:
Aqui:
  • é a posição no tempo ,
  • é a altura inicial,
  • é a velocidade inicial,
  • é a aceleração da gravidade (vamos considerar ).
Como o movimento é para baixo, estamos somando os termos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa equação nos dois instantes de tempo que a gente tem: y1 = h + v0 t1 + 12 g t1^2 e y2 = h + v0 t2 + 12 g t2^2 .
Para :
E para :

Passo 4

A gente tem duas equações com duas incógnitas ( y2 - y1 = v0 (t2 - t1) + 12 g (t2^2 - t1^2) e ). Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, vamos subtrair a equação de da equação de para eliminar .

Passo 5

Agora, vamos isolar v0 = (y2 - y1) - 12 g (t2^2 - t1^2)t2 - t1 :
Essa é a expressão para a velocidade inicial em termos das quantidades dadas.

Passo 6

Com h = y1 - v0 t1 - 12 g t1^2 encontrado, podemos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar h = y1 - ( (y2 - y1) - 12 g (t2^2 - t1^2)t2 - t1 ) t1 - 12 g t1^2 . Vamos substituir na equação para :
Agora, substituímos o que encontramos:

Resposta

Portanto, as expressões para a altura inicial v0 = (y2 - y1) - 12 g (t2^2 - t1^2)t2 - t1 e a velocidade inicial h = y1 - ( (y2 - y1) - 12 g (t2^2 - t1^2)t2 - t1 ) t1 - 12 g t1^2 são:

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