Opcional - Obtenha as equações da cinemática unidimensional, para os casos de velocidade constante e de aceleração constante, usando o Cálculo Diferencial e Integral e para o caso de aceleração linear (proporcional ao tempo) .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Estamos trabalhando com cinemática unidimensional, que é a parte da física que estuda o movimento de objetos em uma única direção. Precisamos encontrar as equações de movimento para três casos diferentes: quando a velocidade é constante, quando a aceleração é constante e quando a aceleração é linear, ou seja, proporcional ao tempo. Para isso, vamos usar o Cálculo Diferencial e Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso de velocidade constante. Quando a velocidade não muda, a aceleração é zero. A fórmula básica que relaciona posição, velocidade e tempo é:
v = dxdt
Aqui, x(t) = x0 + v cdot t é a velocidade constante, é a posição, e é o tempo. Para encontrar a posição em função do tempo, vamos integrar essa equação com relação ao tempo:
Onde é a posição inicial.

Passo 3

Agora, vamos para o caso de aceleração constante. A aceleração a = dvdt é a taxa de variação da velocidade:
v(t) = v0 + a cdot t
Como a aceleração é constante, podemos integrar essa equação para encontrar a velocidade em função do tempo:
x(t) = x0 + v0 cdot t + 12 a cdot t^2
Aqui, é a velocidade inicial. Em seguida, para encontrar a posição, integramos a expressão da velocidade:

Passo 4

Por último, vamos tratar da aceleração linear, que é quando a aceleração é proporcional ao tempo. Podemos escrever isso como:
a(t) = k cdot t
Onde v(t) = v0 + integral a(t) , dt = v0 + 12 k cdot t^2 é uma constante. Para encontrar a velocidade, integramos a aceleração:
x(t) = x0 + v0 cdot t + 16 k cdot t^3
Agora, para encontrar a posição, integramos a expressão da velocidade:

Resposta

As equações da cinemática unidimensional são:
  1. Velocidade constante:
    x(t) = x0 + v cdot t
  2. Aceleração constante:
    x(t) = x0 + v0 cdot t + 12 a cdot t^2
  3. Aceleração linear (aceleração proporcional ao tempo):
    x(t) = x0 + v0 cdot t + 16 k cdot t^3

Exercícios relacionados