Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola e oscila numa única direção. A equação que descreve esse movimento é uma equação diferencial de segunda ordem:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Aqui, x representa a posição do corpo em relação à posição de equilíbrio. A matéria que vamos usar para resolver isso é Movimento Harmônico Simples (MHS), que estuda movimentos oscilatórios como o de molas e pêndulos. Vamos precisar entender o que caracteriza um MHS para identificar o tipo de movimento desse sistema massa-mola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Movimento Harmônico Simples. O MHS ocorre quando a força restauradora que age sobre o objeto é proporcional à sua posição em relação ao ponto de equilíbrio e age na direção oposta. A equação geral do MHS é:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = 0
Comparando com a equação dada no problema:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Vemos que omega0^2 = 64, o que significa que omega0 = 8 , rad/s. Isso confirma que a força restauradora é proporcional à posição, característica chave do MHS.

Passo 3

Além disso, a solução geral fornecida:
x(t) = C cos(omega0 t + de
é típica de movimentos harmônicos simples, onde C é a amplitude, omega0 é a frequência angular, e de é a fase inicial. Isso mostra que o movimento é periódico e sinusoidal, exatamente como no MHS.

Passo 4

Como o corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio e a mola retorna o corpo para essa posição com uma força proporcional ao deslocamento, tudo indica que o sistema está realizando um Movimento Harmônico Simples.

Resposta

O sistema massa-mola realiza um Movimento Harmônico Simples (MHS).

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