Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale:
.
g) A energia total do sistema vale:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde uma massa de 2 kg está presa a uma mola e oscila em uma direção só. A equação que descreve esse movimento é uma equação diferencial:
Aqui,
representa a posição do corpo em relação à posição de equilíbrio. Queremos determinar a energia total do sistema, que envolve entender como a energia se manifesta nesse tipo de movimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a constante angular
na equação diferencial. A equação geral para um movimento harmônico simples é:
Comparando com a nossa equação, vemos que
. Então,
Passo 3
Sabemos que a solução geral do movimento é:
Como o corpo foi liberado a 1 m da posição de equilíbrio, isso nos dá a condição inicial de deslocamento:
. Aplicando isso na solução geral:
Além disso, a velocidade inicial é zero porque o corpo foi solto, não lançado. Isso nos dá:
Para que isso seja verdadeiro,
, o que implica que
ou
. Vamos escolher
para simplificar.
Então,
Portanto, a solução específica é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia total do sistema. Em um movimento harmônico simples, a energia total
é a soma da energia cinética e da energia potencial da mola. Essa energia é constante ao longo do tempo.
A energia potencial da mola é dada por:
E a energia cinética é:
Onde
é a constante da mola,
é a massa, e
é a velocidade.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar a constante da mola
. Sabemos que:
Já encontramos
e
. Então:
Passo 6
No ponto máximo da oscilação, toda a energia está na forma de energia potencial, já que a velocidade �� zero. A posição máxima é
. Então, a energia total é:
Resposta
A energia total do sistema vale:
.
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante é calculado por meio da igualdade
. O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com
. Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
f) O valor da energia cinética no instante
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
c) Sabendo-se que , então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
c) Sabendo-se que
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
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C | ||
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