Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale: E= .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde uma massa de 2 kg está presa a uma mola e oscila em uma direção só. A equação que descreve esse movimento é uma equação diferencial:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Aqui, x representa a posição do corpo em relação à posição de equilíbrio. Queremos determinar a energia total do sistema, que envolve entender como a energia se manifesta nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a constante angular omega0 na equação diferencial. A equação geral para um movimento harmônico simples é:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = 0
Comparando com a nossa equação, vemos que omega0^2 = 64. Então,
omega0 = raiz64 = 8 , rad/s

Passo 3

Sabemos que a solução geral do movimento é:
x(t) = C cos(omega0 t + de
Como o corpo foi liberado a 1 m da posição de equilíbrio, isso nos dá a condição inicial de deslocamento: x(0) = 1 , m. Aplicando isso na solução geral:
1 = C cos(de
Além disso, a velocidade inicial é zero porque o corpo foi solto, não lançado. Isso nos dá:
v(0) = -C omega0 sin(de
Para que isso seja verdadeiro, sin(de, o que implica que de ou pi. Vamos escolher de para simplificar.
Então,
1 = C cos(0) Rightarrow C = 1 , m
Portanto, a solução específica é:
x(t) = cos(8t)

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia total do sistema. Em um movimento harmônico simples, a energia total E é a soma da energia cinética e da energia potencial da mola. Essa energia é constante ao longo do tempo.
A energia potencial da mola é dada por:
U = 12 k x^2
E a energia cinética é:
K = 12 m v^2
Onde k é a constante da mola, m é a massa, e v é a velocidade.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar a constante da mola k. Sabemos que:
omega0 = raizkm
Já encontramos omega0 = 8 , rad/s e m = 2 , kg. Então:
8 = raizk2 Rightarrow 64 = k2 Rightarrow k = 128 , N/m

Passo 6

No ponto máximo da oscilação, toda a energia está na forma de energia potencial, já que a velocidade �� zero. A posição máxima é x = 1 , m. Então, a energia total é:
E = 12 k x^2 = 12 times 128 times (1)^2 = 64 , J

Resposta

A energia total do sistema vale: E = 64 , J.

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