Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola e oscila numa direção só. A equação diferencial que descreve esse movimento é:
Queremos completar uma tabela com os valores de posição e velocidade em dois instantes de tempo específicos: segundos e segundos. Para isso, vamos precisar entender como resolver essa equação diferencial e encontrar as expressões para e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela caracteriza movimentos oscilatórios harmônicos simples. A solução geral dessa equação é:
Aqui, é a amplitude da oscilação, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 3

Vamos identificar . Na equação diferencial, o coeficiente de é , que corresponde a . Ou seja:
Então, a frequência angular é .

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais. Sabemos que o corpo foi liberado a 1 metro da posição de equilíbrio, ou seja, . Além disso, como foi apenas liberado, a velocidade inicial é zero: .
Vamos aplicar essas condições na solução geral.
Para :
Para a velocidade, derivamos :
Então, para :
Como não é zero, temos que . Portanto, ou . Mas, como , que é positivo, escolhemos .
Logo:
Então, temos:

Passo 5

Com as constantes encontradas, a expressão da posição fica:
E a velocidade é a derivada de :

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores de e para segundos e segundos.
Para :
Para :

Resposta

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em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular:
b) A aceleração e velocidade quando a coordenada é 9,0 cm.
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale: .
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante é calculado por meio da igualdade . O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com . Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
.
.