Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
|
|
|
---|---|---|
|
||
|
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola e oscila numa direção só. A equação diferencial que descreve esse movimento é:
Queremos completar uma tabela com os valores de posição
e velocidade
em dois instantes de tempo específicos:
segundos e
segundos. Para isso, vamos precisar entender como resolver essa equação diferencial e encontrar as expressões para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela caracteriza movimentos oscilatórios harmônicos simples. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
é a amplitude da oscilação,
é a frequência angular, e
é a fase inicial.
Passo 3
Vamos identificar
. Na equação diferencial, o coeficiente de
é
, que corresponde a
. Ou seja:
Então, a frequência angular é
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar as constantes
e
usando as condições iniciais. Sabemos que o corpo foi liberado a 1 metro da posição de equilíbrio, ou seja,
. Além disso, como foi apenas liberado, a velocidade inicial é zero:
.
Vamos aplicar essas condições na solução geral.
Para
:
Para a velocidade, derivamos
:
Então, para
:
Como
não é zero, temos que
. Portanto,
ou
. Mas, como
, que é positivo, escolhemos
.
Logo:
Então, temos:
Passo 5
Com as constantes encontradas, a expressão da posição fica:
E a velocidade é a derivada de
:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores de
e
para
segundos e
segundos.
Para
:
Para
:
Resposta
|
|
|
---|---|---|
|
|
|
|
|
|
Exercícios relacionados
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular:
b) A aceleração e velocidade quando a coordenada é 9,0 cm.
b) A aceleração e velocidade quando a coordenada é 9,0 cm.
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale:
.
g) A energia total do sistema vale:
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante é calculado por meio da igualdade
. O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com
. Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
f) O valor da energia cinética no instante
|
|
|
---|---|---|
|
||
|