Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
t(s) x(t)[m] dotx(t)[m / s]
pi4
pi8

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola e oscila numa direção só. A equação diferencial que descreve esse movimento é:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Queremos completar uma tabela com os valores de posição e velocidade em dois instantes de tempo específicos: segundos e segundos. Para isso, vamos precisar entender como resolver essa equação diferencial e encontrar as expressões para e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela caracteriza movimentos oscilatórios harmônicos simples. A solução geral dessa equação é:
x(t) = C cos(omega0 t + de
Aqui, é a amplitude da oscilação, é a frequência angular, e é a fase inicial.

Passo 3

Vamos identificar omega0^2 = 64 Rightarrow omega0 = raiz64 = 8 , rad/s . Na equação diferencial, o coeficiente de é , que corresponde a . Ou seja:
Então, a frequência angular é .

Passo 4

Agora, precisamos determinar as constantes x(0) = C cos(de e dotx(t) = -C omega0 sin(omega0 t + de usando as condições iniciais. Sabemos que o corpo foi liberado a 1 metro da posição de equilíbrio, ou seja, dotx(0) = -C omega0 sin(de. Além disso, como foi apenas liberado, a velocidade inicial é zero: C cos(0) = C = 1 .
Vamos aplicar essas condições na solução geral.
Para C = 1 e de:
Para a velocidade, derivamos :
Então, para :
Como não é zero, temos que . Portanto, ou . Mas, como , que é positivo, escolhemos .
Logo:
Então, temos:

Passo 5

Com as constantes encontradas, a expressão da posição fica:
x(t) = cos(8t)
E a velocidade é a derivada de dotx(t) = dxdt = -8 sin(8t) :

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores de x(pi4) = cos(8 cdot pi4) = cos(2pi) = 1 e dotx(pi4) = -8 sin(8 cdot pi4) = -8 sin(2pi) = 0 para x(pi8) = cos(8 cdot pi8) = cos(pi) = -1 segundos e dotx(pi8) = -8 sin(8 cdot pi8) = -8 sin(pi) = 0 segundos.
Para :
Para :

Resposta

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