Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante
é calculado por meio da igualdade
. O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com
. Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
f) O valor da energia cinética no instante
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Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde uma massa de 2 kg está ligada a uma mola e oscila de forma unidimensional. A equação que modela esse movimento é uma equação diferencial que envolve a posição do corpo em função do tempo. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética (
) e a energia potencial (
) do sistema em dois instantes específicos:
e
, onde
é o período da oscilação. Para isso, vamos precisar entender as expressões das energias e como elas se relacionam com a posição e velocidade do corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período
da oscilação. A equação diferencial dada é:
Comparando com a equação padrão de movimento harmônico simples:
Vemos que
, então:
O período
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos determinar as expressões para a energia cinética (
) e a energia potencial (
).
A energia cinética é dada por:
E a energia potencial é:
Onde:
-
(massa) -
(constante da mola) -
é a posição em função do tempo -
é a velocidade em função do tempo
A solução geral da posição é:
Com as condições iniciais fornecidas (
e supondo que a velocidade inicial seja zero), obtemos:
Daí, a velocidade é:
Passo 4
Vamos agora calcular as energias nos instantes
e
.
Primeiro, substituímos
na expressão dos tempos:
Agora, calculamos
e
nesses instantes.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as energias usando as fórmulas.
Para
:
Para
:
Resposta
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale:
.
g) A energia total do sistema vale:
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
c) Sabendo-se que , então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
c) Sabendo-se que
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
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C | ||
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
---|---|---|
|
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k |