Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante é calculado por meio da igualdade . O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com . Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
.
.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde uma massa de 2 kg está ligada a uma mola e oscila de forma unidimensional. A equação que modela esse movimento é uma equação diferencial que envolve a posição do corpo em função do tempo. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ) do sistema em dois instantes específicos: e , onde é o período da oscilação. Para isso, vamos precisar entender as expressões das energias e como elas se relacionam com a posição e velocidade do corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da oscilação. A equação diferencial dada é:
Comparando com a equação padrão de movimento harmônico simples:
Vemos que , então:
O período é dado por:

Passo 3

Agora, vamos determinar as expressões para a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ).
A energia cinética é dada por:
E a energia potencial é:
Onde:
  • (massa)
  • (constante da mola)
  • é a posição em função do tempo
  • é a velocidade em função do tempo
A solução geral da posição é:
Com as condições iniciais fornecidas ( e supondo que a velocidade inicial seja zero), obtemos:
Daí, a velocidade é:

Passo 4

Vamos agora calcular as energias nos instantes e .
Primeiro, substituímos na expressão dos tempos:
Agora, calculamos e nesses instantes.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular as energias usando as fórmulas.
Para :
Para :

Resposta

Exercícios relacionados

Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale: .
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
c) Sabendo-se que , então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
Grandeza Valor numérico Unidade
C
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza Valor numérico Unidade
k