Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante t é calculado por meio da igualdade Ec=m dotx^22. O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com EP=k x^22. Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
t(s) EC(J) EP(J)
T4=ldots ldots ldots .
T8=ldots ldots ldots .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde uma massa de 2 kg está ligada a uma mola e oscila de forma unidimensional. A equação que modela esse movimento é uma equação diferencial que envolve a posição do corpo em função do tempo. Nosso objetivo aqui é calcular a energia cinética ( EC) e a energia potencial ( EP) do sistema em dois instantes específicos: t = T4 e t = T8, onde T é o período da oscilação. Para isso, vamos precisar entender as expressões das energias e como elas se relacionam com a posição e velocidade do corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período T da oscilação. A equação diferencial dada é:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Comparando com a equação padrão de movimento harmônico simples:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = 0
Vemos que omega0^2 = 64, então:
omega0 = raiz64 = 8 , rad/s
O período T é dado por:
T = 2piomega0 = 2pi8 = pi4 , segundos approx 0,785 , s

Passo 3

Agora, vamos determinar as expressões para a energia cinética ( EC) e a energia potencial ( EP).
A energia cinética é dada por:
EC = 12 m dotx^2
E a energia potencial é:
EP = 12 k x^2
Onde:
  • m = 2 , kg (massa)
  • k = m omega0^2 = 2 times 64 = 128 , N/m (constante da mola)
  • x(t) é a posição em função do tempo
  • dotx(t) é a velocidade em função do tempo
A solução geral da posição é:
x(t) = C cos(omega0 t + de
Com as condições iniciais fornecidas ( x(0) = 1 , m e supondo que a velocidade inicial seja zero), obtemos:
x(t) = cos(8t)
Daí, a velocidade é:
dotx(t) = dxdt = -8 sin(8t)

Passo 4

Vamos agora calcular as energias nos instantes t = T4 e t = T8.
Primeiro, substituímos T na expressão dos tempos:
T4 = pi16 approx 0,196 , s
T8 = pi32 approx 0,098 , s
Agora, calculamos x(t) e dotx(t) nesses instantes.
Para t = T4:
x(pi16) = cos(8 times pi16) = cos(pi2) = 0
dotx(pi16) = -8 sin(pi2) = -8 times 1 = -8 , m/s
Para t = T8:
x(pi32) = cos(8 times pi32) = cos(pi4) = raiz22
dotx(pi32) = -8 sin(pi4) = -8 times raiz22 = -4raiz2 , m/s

Passo 5

Agora, vamos calcular as energias usando as fórmulas.
Para t = T4:
EC = 12 times 2 times (-8)^2 = 12 times 2 times 64 = 64 , J
EP = 12 times 128 times 0^2 = 0 , J
Para t = T8:
EC = 12 times 2 times (-4raiz2)^2 = 12 times 2 times 32 = 32 , J
EP = 12 times 128 times (raiz22)^2 = 12 times 128 times 12 = 32 , J

Resposta

t(s) EC(J) EP(J)
T4 = 0,196 64 0
T8 = 0,098 32 32

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