Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
c) Sabendo-se que , então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
Grandeza Valor numérico Unidade
C

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola, oscilando em uma única direção. A movimentação desse corpo é descrita pela equação diferencial:
Aqui, representa a posição do corpo em relação à posição de equilíbrio no tempo . A solução geral dessa equação é:
onde , e são constantes que determinam o comportamento da oscilação. Nosso objetivo é determinar os valores de e usando as condições iniciais fornecidas: metro e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como aplicar condições iniciais em equações diferenciais.

Passo 2

Aplicando a Condição Inicial metro:
Vamos substituir na solução geral para encontrar uma relação entre e :
Explicação:
Quando , a posição inicial do corpo é 1 metro. Isso nos dá a equação , que relaciona e .

Passo 3

Aplicando a Condição Inicial :
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação ao tempo :
Agora, substituímos :
Explicação:
A velocidade inicial é zero, o que implica que . Como e são diferentes de zero (já que representam amplitude e frequência), devemos ter .

Passo 4

Determinação de e :
Sabendo que , as soluções para são:
No entanto, lembrando da equação do Passo 2:
Se :
Se :
Escolha da Solução Física:
Como estamos lidando com uma amplitude positiva de oscilação, escolhemos e .

Resposta

Grandeza Valor numérico Unidade
C 1 m
0 rad

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em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante é calculado por meio da igualdade . O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com . Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
.
.
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale: .
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza Valor numérico Unidade
k
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período ( ) de oscilação.