Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
c) Sabendo-se que x(0)=1 me d xd t(0)=0, então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
Grandeza Valor numérico Unidade
C
de

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola, oscilando em uma única direção. A movimentação desse corpo é descrita pela equação diferencial:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Aqui, x(t) = C cos(omega0 t + de representa a posição do corpo em relação à posição de equilíbrio no tempo . A solução geral dessa equação é:
onde , e são constantes que determinam o comportamento da oscilação. Nosso objetivo é determinar os valores de e usando as condições iniciais fornecidas: metro e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como aplicar condições iniciais em equações diferenciais.

Passo 2

Aplicando a Condição Inicial x(0) = C cos(omega0 cdot 0 + de metro:
Vamos substituir na solução geral para encontrar uma relação entre e :
Explicação:
Quando , a posição inicial do corpo é 1 metro. Isso nos dá a equação , que relaciona e .

Passo 3

Aplicando a Condição Inicial dxdt = -C omega0 sin(omega0 t + de:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de dxdt(0) = -C omega0 sin(de em relação ao tempo :
Agora, substituímos :
Explicação:
A velocidade inicial é zero, o que implica que . Como e são diferentes de zero (já que representam amplitude e frequência), devemos ter .

Passo 4

Determinação de de e C cos(de:
Sabendo que C cos(0) = C times 1 = 1 Rightarrow C = 1 , as soluções para C cos(pi) = C times (-1) = 1 Rightarrow C = -1 são:
No entanto, lembrando da equação do Passo 2:
Se :
Se :
Escolha da Solução Física:
Como estamos lidando com uma amplitude positiva de oscilação, escolhemos e .

Resposta

Grandeza Valor numérico Unidade
C 1 m
0 rad

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