Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
c) Sabendo-se que
, então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
c) Sabendo-se que
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
---|---|---|
C | ||
|
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola, oscilando em uma única direção. A movimentação desse corpo é descrita pela equação diferencial:
Estamos lidando com um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola, oscilando em uma única direção. A movimentação desse corpo é descrita pela equação diferencial:
Aqui,
representa a posição do corpo em relação à posição de equilíbrio no tempo
. A solução geral dessa equação é:
onde
,
e
são constantes que determinam o comportamento da oscilação. Nosso objetivo é determinar os valores de
e
usando as condições iniciais fornecidas:
metro e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como aplicar condições iniciais em equações diferenciais.
Passo 2
Aplicando a Condição Inicial
metro:
Vamos substituir na solução geral para encontrar uma relação entre
e
:
Vamos substituir
Explicação:
Quando , a posição inicial do corpo é 1 metro. Isso nos dá a equação
, que relaciona
e
.
Quando
Passo 3
Aplicando a Condição Inicial
:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação ao tempo
:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
Agora, substituímos
:
Explicação:
A velocidade inicial é zero, o que implica que . Como
e
são diferentes de zero (já que representam amplitude e frequência), devemos ter
.
A velocidade inicial é zero, o que implica que
Passo 4
Determinação de
e
:
Sabendo que , as soluções para
são:
Sabendo que
No entanto, lembrando da equação do Passo 2:
Se
:
Se
:
Escolha da Solução Física:
Como estamos lidando com uma amplitude positiva de oscilação, escolhemos e
.
Como estamos lidando com uma amplitude positiva de oscilação, escolhemos
Resposta
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
---|---|---|
C | 1 | m |
|
0 | rad |
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
f) O valor da energia cinética no instante é calculado por meio da igualdade
. O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com
. Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
f) O valor da energia cinética no instante
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
g) A energia total do sistema vale:
.
g) A energia total do sistema vale:
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
---|---|---|
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||
k |
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período ( ) de oscilação.
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período (