Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período ( ) de oscilação.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre um sistema massa-mola unidimensional. Temos um corpo de 2 kg ligado a uma mola que oscila de forma harmônica simples. Precisamos encontrar a solução geral da equação que descreve esse movimento, substituindo os valores das constantes, e também determinar o período de oscilação desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos harmônicos e matemática para resolver a equação diferencial apresentada.
Passo 2
A equação diferencial que modela o movimento do corpo é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, caracterizando um movimento harmônico simples. A solução geral dessa equação é dada por:
onde:
é a amplitude da oscilação,
é a fase inicial,
é a frequência angular do sistema.
Passo 3
Primeiro, vamos determinar , que está relacionada às propriedades do sistema massa-mola. Sabemos que:
onde:
é a constante da mola,
é a massa do corpo.
Observando a equação diferencial original, podemos identificar que:
Passo 4
Agora, vamos utilizar as condições iniciais para encontrar as constantes e . A condição inicial dada é que o corpo é liberado a 1 m da posição de equilíbrio, o que significa que, no instante :
Substituindo na solução geral:
Outra condição inicial importante é a velocidade inicial. Como o corpo é liberado a partir do repouso, a velocidade inicial é zero:
Calculando a derivada da solução geral:
Substituindo :
Para que essa igualdade seja verdadeira, deve ser zero. Isso ocorre quando ou . Contudo, considerando que e queremos uma amplitude positiva, escolhemos .
Portanto:
Passo 5
Com os valores de e determinados, podemos escrever a solução geral completa:
Passo 6
Agora, vamos calcular o período de oscilação . O período está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo :
Resposta
A solução geral do movimento é e o período de oscilação é segundos.