Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período ( tau ) de oscilação.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre um sistema massa-mola unidimensional. Temos um corpo de 2 kg ligado a uma mola que oscila de forma harmônica simples. Precisamos encontrar a solução geral da equação que descreve esse movimento, substituindo os valores das constantes, e também determinar o período de oscilação desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos harmônicos e matemática para resolver a equação diferencial apresentada.

Passo 2

A equação diferencial que modela o movimento do corpo é:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, caracterizando um movimento harmônico simples. A solução geral dessa equação é dada por:
x(t) = C cos (omega0 t + de
onde:
  • é a amplitude da oscilação,
  • é a fase inicial,
  • é a frequência angular do sistema.

Passo 3

Primeiro, vamos determinar omega0 = raizkm , que está relacionada às propriedades do sistema massa-mola. Sabemos que:
omega0^2 = 64 Rightarrow omega0 = raiz64 = 8 , rad/s
onde:
  • é a constante da mola,
  • é a massa do corpo.
Observando a equação diferencial original, podemos identificar que:

Passo 4

Agora, vamos utilizar as condições iniciais para encontrar as constantes x(0) = 1 , m e 1 = C cos(de. A condição inicial dada é que o corpo é liberado a 1 m da posição de equilíbrio, o que significa que, no instante dxdt|t=0 = 0 :
dxdt = -C omega0 sin(omega0 t + de
Substituindo na solução geral:
0 = -C omega0 sin(de
Outra condição inicial importante é a velocidade inicial. Como o corpo é liberado a partir do repouso, a velocidade inicial é zero:
C = 1 , m
Calculando a derivada da solução geral:
Substituindo :
Para que essa igualdade seja verdadeira, deve ser zero. Isso ocorre quando ou . Contudo, considerando que e queremos uma amplitude positiva, escolhemos .
Portanto:

Passo 5

Com os valores de x(t) = 1 cdot cos(8 t + 0) Rightarrow x(t) = cos(8 t) e determinados, podemos escrever a solução geral completa:

Passo 6

Agora, vamos calcular o período de oscilação tau = 2piomega0 . O período está relacionado à frequência angular pela fórmula:
tau = 2pi8 = pi4 , s
Substituindo :

Resposta

A solução geral do movimento é e o período de oscilação é segundos.

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