Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período ( ) de oscilação.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre um sistema massa-mola unidimensional. Temos um corpo de 2 kg ligado a uma mola que oscila de forma harmônica simples. Precisamos encontrar a solução geral da equação que descreve esse movimento, substituindo os valores das constantes, e também determinar o período de oscilação desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre movimentos harmônicos e matemática para resolver a equação diferencial apresentada.

Passo 2

A equação diferencial que modela o movimento do corpo é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, caracterizando um movimento harmônico simples. A solução geral dessa equação é dada por:
onde:
  • é a amplitude da oscilação,
  • é a fase inicial,
  • é a frequência angular do sistema.

Passo 3

Primeiro, vamos determinar , que está relacionada às propriedades do sistema massa-mola. Sabemos que:
onde:
  • é a constante da mola,
  • é a massa do corpo.
Observando a equação diferencial original, podemos identificar que:

Passo 4

Agora, vamos utilizar as condições iniciais para encontrar as constantes e . A condição inicial dada é que o corpo é liberado a 1 m da posição de equilíbrio, o que significa que, no instante :
Substituindo na solução geral:
Outra condição inicial importante é a velocidade inicial. Como o corpo é liberado a partir do repouso, a velocidade inicial é zero:
Calculando a derivada da solução geral:
Substituindo :
Para que essa igualdade seja verdadeira, deve ser zero. Isso ocorre quando ou . Contudo, considerando que e queremos uma amplitude positiva, escolhemos .
Portanto:

Passo 5

Com os valores de e determinados, podemos escrever a solução geral completa:

Passo 6

Agora, vamos calcular o período de oscilação . O período está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo :

Resposta

A solução geral do movimento é e o período de oscilação é segundos.

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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza Valor numérico Unidade
k
Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por , em que e são constantes do movimento. Os valores de C e são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
c) Sabendo-se que , então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
Grandeza Valor numérico Unidade
C
A equação geral do MHS, , pode ser escrita em uma forma equivalente . Encontrar as expressões para as amplitudes B e C em termos da amplitude A e do ângulo de fase inicial .
Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular:
a) Os valores máximos da aceleração e velocidade.