A equação geral do MHS,
, pode ser escrita em uma forma equivalente
. Encontrar as expressões para as amplitudes B e C em termos da amplitude A e do ângulo de fase inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar a equação geral do Movimento Harmônico Simples (MHS), que é
, em uma forma equivalente usando seno e cosseno separados, ou seja,
. Nosso objetivo é descobrir como as amplitudes
e
se relacionam com a amplitude
e o ângulo de fase inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica super útil: qualquer combinação de seno e cosseno de um mesmo ângulo pode ser escrita como um único cosseno ou seno com uma fase. Especificamente,
pode ser expandido usando as fórmulas de adição de ângulos.
Passo 3
Aplicando a fórmula do cosseno da soma, temos:
Isso distribui o
para cada termo dentro dos colchetes.
Passo 4
Agora, comparemos essa expressão com a forma que queremos:
. Para facilitar a comparação, reescrevemos a expressão expandida:
Passo 5
Observando os dois lados, identificamos que:
e
Essas igualdades vêm do fato de que os coeficientes das funções seno e cosseno precisam ser iguais nos dois lados da equação.
Resposta
As amplitudes são
e
.
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Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Determine:
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período ( ) de oscilação.
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b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
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Grandeza | Valor numérico | Unidade |
---|---|---|
|
||
k |
Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular:
a) Os valores máximos da aceleração e velocidade.
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c) O tempo necessário para que o corpo se afaste 12 cm da posição de equilíbrio.
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