A equação geral do MHS, x(t)=A cos (omega t+theta0), pode ser escrita em uma forma equivalente x(t)=B sin (omega0 t)+C cos (omega0 t). Encontrar as expressões para as amplitudes B e C em termos da amplitude A e do ângulo de fase inicial theta0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar a equação geral do Movimento Harmônico Simples (MHS), que é , em uma forma equivalente usando seno e cosseno separados, ou seja, . Nosso objetivo é descobrir como as amplitudes e se relacionam com a amplitude e o ângulo de fase inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica super útil: qualquer combinação de seno e cosseno de um mesmo ângulo pode ser escrita como um único cosseno ou seno com uma fase. Especificamente, pode ser expandido usando as fórmulas de adição de ângulos.

Passo 3

Aplicando a fórmula do cosseno da soma, temos:
A cos(omega t + theta0) = A [cos(omega t)cos(theta0) - sin(omega t)sin(theta0)]
Isso distribui o para cada termo dentro dos colchetes.

Passo 4

Agora, comparemos essa expressão com a forma que queremos: A cos(theta0) cos(omega t) - A sin(theta0) sin(omega t) . Para facilitar a comparação, reescrevemos a expressão expandida:

Passo 5

Observando os dois lados, identificamos que:
C = A cos(theta0)
e
B = -A sin(theta0)
Essas igualdades vêm do fato de que os coeficientes das funções seno e cosseno precisam ser iguais nos dois lados da equação.

Resposta

As amplitudes são e .

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