Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
---|---|---|
|
||
k |
c) Sabendo-se que
, então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola e oscila em uma direção só. A equação que descreve esse movimento é uma equação diferencial:
Nosso objetivo é completar uma tabela com os valores numéricos de duas grandezas importantes desse sistema:
(a frequência angular) e
(a constante elástica da mola). Para isso, vamos usar conceitos de física de movimentos harmônicos simples e matemática básica para resolver a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a frequência angular
. A equação diferencial que descreve o movimento é:
Comparando com a equação padrão do movimento harmônico simples:
Podemos ver que:
Então, para encontrar
, basta calcular a raiz quadrada de 64:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a constante elástica da mola,
. Sabemos que a frequência angular está relacionada com a constante elástica e a massa pelo seguinte relacionamento:
Queremos isolar
, então vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Sabemos que a massa
é 2 kg e
é 8 rad/s, então substituindo:
Resposta
Grandeza | Valor numérico | Unidade |
---|---|---|
|
8 | rad/s |
k | 128 | N/m |