Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
d^2 xd t^2+64 x=0
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C cos (omega0 t+de, em que C, de e omega0 são constantes do movimento. Os valores de C e de são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de omega0 é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola. Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza Valor numérico Unidade
omega0
k
c) Sabendo-se que x(0)=1 me d xd t(0)=0, então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre um sistema massa-mola onde um corpo de 2 kg está preso a uma mola e oscila em uma direção só. A equação que descreve esse movimento é uma equação diferencial:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Nosso objetivo é completar uma tabela com os valores numéricos de duas grandezas importantes desse sistema: omega0 (a frequência angular) e k (a constante elástica da mola). Para isso, vamos usar conceitos de física de movimentos harmônicos simples e matemática básica para resolver a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a frequência angular omega0. A equação diferencial que descreve o movimento é:
d^2 xd t^2 + 64 x = 0
Comparando com a equação padrão do movimento harmônico simples:
d^2 xd t^2 + omega0^2 x = 0
Podemos ver que:
omega0^2 = 64
Então, para encontrar omega0, basta calcular a raiz quadrada de 64:
omega0 = raiz64 = 8 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a constante elástica da mola, k. Sabemos que a frequência angular está relacionada com a constante elástica e a massa pelo seguinte relacionamento:
omega0 = raizkm
Queremos isolar k, então vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
omega0^2 = km
Multiplicando ambos os lados por m:
k = m omega0^2
Sabemos que a massa m é 2 kg e omega0 é 8 rad/s, então substituindo:
k = 2 times (8)^2 = 2 times 64 = 128 , N/m

Resposta

Grandeza Valor numérico Unidade
omega0 8 rad/s
k 128 N/m

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