Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine: A posição do corpo no instante inicial.
i) O instante em que o móvel se encontra na posição 3 / 5 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo de 1 kg ligado a uma mola que está oscilando de um jeito bem específico, seguindo a equação $ x(t) = \operatorname{sen}\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) $. Aqui, $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. A) Onde o corpo está no instante inicial (quando $ t = 0 $).
  2. i) Em que instante o corpo está na posição de $ \frac{3}{5} $ metros.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que descreve movimentos oscilatórios como esse.

Passo 2

A) Vamos encontrar a posição do corpo no instante inicial, ou seja, quando $ t = 0 $.
A equação dada é:
t = 0
Substituindo $ t = 0 $:
x(t) = sen(pi t - pi2)
t = 0
Sabemos que $ \operatorname{sen}(-\theta) = -\operatorname{sen}(\theta) $ e que $ \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
x(0) = sen(pi cdot 0 - pi2)
i) Agora, queremos saber em que instante $ t $ o corpo está na posição $ \frac{3}{5} $ metros.
Temos:
x(0) = sen(-pi2)
Então:
sen(-theta) = -sen(theta)
Para resolver isso, precisamos encontrar o valor de $ t $ que satisfaz essa equação. Vamos isolar o seno:
Calculando $ \arcsen\left(\frac{3}{5}\right) $:
Agora, resolvendo para $ t $:
sen(pi2) = 1
x(0) = -1 , m
t
35
x(t) = 35

Resposta

A posição do corpo no instante inicial é -1 , m e ele está na posição $ \frac{3}{5} $ metros aproximadamente aos $ 0,705 $ segundos.

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