Um corpo de massa 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de
.
(b) Determine a posição
em função do tempo
para os seguintes casos:
b1. se o sistema é colocado em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade apontada para cima de
;
b2. se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocado em movimento com uma velocidade para baixo de
b3. se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 2 cm e depois é solto.
(b) Determine a posição
b1. se o sistema é colocado em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade apontada para cima de
b2. se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocado em movimento com uma velocidade para baixo de
b3. se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 2 cm e depois é solto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um corpo de massa 100 g esticando uma mola 10 cm. Queremos encontrar a posição
em função do tempo
para três situações diferentes de movimento. Vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS) para resolver isso. Precisaremos das fórmulas do MHS, que descrevem como objetos oscilam em torno de uma posição de equilíbrio.
Passo 2
Vamos determinar a constante elástica da mola (
). Sabemos que a força exercida pela mola é dada por
, onde
é a deformação da mola. No equilíbrio, a força da mola é igual ao peso do corpo (
).
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a frequência angular (
) do sistema. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 4
A equação geral do movimento harmônico simples é:
Onde:
-
é a posição inicial, -
é relacionada à velocidade inicial.
Vamos aplicar isso para cada caso.
Passo 5
Caso b1: O sistema é colocado em movimento a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade para cima de
.
Aqui, a posição inicial
e a velocidade inicial
.
A derivada de
em relação ao tempo nos dá a velocidade:
Usando
:
Então, a equação fica:
Convertendo para cm:
Passo 6
Caso b2: O sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocado em movimento com uma velocidade para baixo de
.
Aqui, a posição inicial
(esticado para baixo) e a velocidade inicial
.
Usando a equação geral:
Com
m e
:
Então, a equação fica:
Convertendo para cm:
Passo 7
Caso b3: O sistema é puxado para baixo esticando a mola 2 cm e depois é solto.
Aqui, a posição inicial
e a velocidade inicial
.
Usando a equação geral:
Com
m e
:
Então, a equação fica:
Convertendo para cm:
Resposta
As posições em função do tempo para cada caso são:
b1.
b2.
b3.