Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{n/(n+6)}_{n=1}^{+\infty}

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma sequência definida por para todo a partir de 1 até o infinito. Vou te mostrar como usar a diferenciação para descobrir se essa sequência está sempre aumentando (estritamente crescente) ou sempre diminuindo (estritamente decrescente).

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender que uma sequência pode ser analisada como uma função contínua para facilitar o uso do cálculo. Vamos pensar na nossa sequência como a função .

Passo 3

Agora, para ver se essa função está crescendo ou diminuindo, a gente vai calcular a derivada dela em relação a . A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se está subindo, descendo ou se mantendo constante.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Usamos a regra do quociente para derivar :
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da derivada . O denominador é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo, e o numerador é 6, que também é positivo.

Passo 6

Como a derivada é sempre positiva para todo , isso significa que a função está sempre aumentando conforme aumenta.

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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