Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma sequência definida por
para todo
a partir de 1 até o infinito. Vou te mostrar como usar a diferenciação para descobrir se essa sequência está sempre aumentando (estritamente crescente) ou sempre diminuindo (estritamente decrescente).
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender que uma sequência pode ser analisada como uma função contínua para facilitar o uso do cálculo. Vamos pensar na nossa sequência como a função
.
Passo 3
Agora, para ver se essa função está crescendo ou diminuindo, a gente vai calcular a derivada dela em relação a
. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, se está subindo, descendo ou se mantendo constante.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra do quociente para derivar
:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
. O denominador
é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo, e o numerador é 6, que também é positivo.
Passo 6
Como a derivada
é sempre positiva para todo
, isso significa que a função
está sempre aumentando conforme
aumenta.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente.