Escreva o enunciado do problema de valor inicial (do ponto de vista físico) e em seguida resolva.
0,1 d^2x/dt^2 + 19,6 x = 0; x(0) = 0; x'(0) = 10

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial, que na física geralmente representa algo como movimento de um corpo sob certas condições. Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o movimento de um sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 0,1 para facilitar:
Isso nos dá uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
Onde é uma constante que vamos determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Aqui, é a unidade imaginária, indicando que as raízes são complexas. Isso significa que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 5

A solução geral para equações com raízes complexas é:
No nosso caso, e , então a solução simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeira condição:
Substituindo na solução:

Passo 7

Segunda condição:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de :
Como , simplifica para:
Agora, aplicamos :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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