Use o quociente a_{n+1}/a_{n} para verificar se a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
{n^n}/{n!} para n=1 até +infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o quociente a_{n+1}/a_{n} para verificar se a sequência {n^n}/{n!} para n=1 até +infinito é estritamente crescente ou decrescente. Isso está dentro do conteúdo de sequências e séries, especificamente usando o teste da razão para analisar o comportamento da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser estritamente crescente ou decrescente. Se, para todo n, , a sequência é crescente. Se , é decrescente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o quociente a_{n+1}/a_{n}. Substituindo a sequência dada:

Passo 4

Simplificando a fração:

Passo 5

Agora, temos . Sabemos que:
E para valores finitos de n, é sempre maior que 1 e aumenta com o aumento de n.

Passo 6

Como para todo n ≥ 1 e essa expressão aumenta conforme n cresce, temos que . Isso indica que cada termo da sequência é maior que o anterior.

Resposta

A sequência {n^n}/{n!} para n=1 até +infinito é estritamente crescente.

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