Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a
, verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a
. Ache (a) o período; (b) a frequência angular; © a massa do corpo. Considere a velocidade máxima igual a
, encontre (d) a amplitude do movimento, (e) a aceleração máxima, (f) a função energia cinética e a função energia potencial elástica. (g) construa os gráficos da posição, velocidade, aceleração e energia mecânica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um corpo preso a uma mola ideal com constante elástica de $ k = 120 , N/m $ que oscila com uma frequência de $ f = 6{,}00 , Hz $. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, como período, frequência angular, massa, amplitude, aceleração máxima e energias envolvidas no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência ($ f
T $), que é o tempo de uma oscilação completa. A relação entre eles é dada por:
Isso significa que o período é o inverso da frequência.
Passo 3
Agora, para encontrar a frequência angular ($ \omega $), usamos a fórmula:
A frequência angular nos dá uma medida de quão rápido o corpo está oscilando em termos de radianos por segundo.
Passo 4
Para encontrar a massa ($ m $) do corpo, usamos a relação entre a frequência angular, a constante da mola e a massa:
Rearranjando a fórmula para resolver $ m $:
Isso nos permite calcular a massa sabendo a constante da mola e a frequência angular.
Passo 5
A amplitude ($ A
v_{máx} $) e a frequência angular:
Assim, para encontrar $ A $:
Aqui, $ v_{máx} $ é dada como $ 20 , cm/s
0{,}20 , m/s $).
Passo 6
A aceleração máxima ($ a_{máx} $) ocorre quando o corpo está na posição de máxima deslocação. A fórmula para $ a_{máx} $ é:
Usamos a amplitude e a frequência angular para encontrar a aceleração máxima.
Passo 7
As funções de energia cinética ($ E_{cinética}
E_{potencial} $) no movimento harmônico simples são dadas por:
Onde $ v(t) $ é a velocidade no tempo $ t $ e $ x(t) $ é o deslocamento no tempo $ t $.
Passo 8
Para os gráficos da posição, velocidade, aceleração e energia mecânica, precisamos expressar cada uma dessas grandezas em função do tempo usando as equações do movimento harmônico simples:
A energia mecânica total ($ E_{mecânica} $) é a soma da energia cinética e da energia potencial e, para um sistema conservativo como o de uma mola ideal, ela permanece constante:
Resposta
(a) O período $ T $ é $ T = \frac{1}{6{,}00 , Hz} = 0{,}1667 , s $.
(b) A frequência angular $ \omega $ é $ \omega = 2\pi \times 6{,}00 , Hz \approx 37{,}70 , rad/s $.
© A massa $ m $ do corpo é $ m = \frac{120 , N/m}{(37{,}70 , rad/s)^2} \approx 0{,}0844 , kg $.
(d) A amplitude $ A $ do movimento é $ A = \frac{0{,}20 , m/s}{37{,}70 , rad/s} \approx 0{,}0053 , m $.
(e) A aceleração máxima $ a_{máx} $ é $ a_{máx} = 0{,}0053 , m \times (37{,}70 , rad/s)^2 \approx 7{,}50 , m/s^2 $.
(f) As funções de energia são:
(g) Os gráficos das funções são: