Quando um corpo de massa desconhecida é ligado a uma mola ideal cuja constante é igual a 120 N / m, verifica-se que ele oscila com uma frequência igual a 6,00 Hz. Ache (a) o período; (b) a frequência angular; © a massa do corpo. Considere a velocidade máxima igual a 20 cm / s, encontre (d) a amplitude do movimento, (e) a aceleração máxima, (f) a função energia cinética e a função energia potencial elástica. (g) construa os gráficos da posição, velocidade, aceleração e energia mecânica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um corpo preso a uma mola ideal com constante elástica de $ k = 120 , N/m $ que oscila com uma frequência de $ f = 6{,}00 , Hz $. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, como período, frequência angular, massa, amplitude, aceleração máxima e energias envolvidas no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência ($ f f áí T $), que é o tempo de uma oscilação completa. A relação entre eles é dada por:
T
Isso significa que o período é o inverso da frequência.

Passo 3

Agora, para encontrar a frequência angular ($ \omega $), usamos a fórmula:
omega
A frequência angular nos dá uma medida de quão rápido o corpo está oscilando em termos de radianos por segundo.

Passo 4

Para encontrar a massa ($ m $) do corpo, usamos a relação entre a frequência angular, a constante da mola e a massa:
m
Rearranjando a fórmula para resolver $ m $:
omega = raizkm
Isso nos permite calcular a massa sabendo a constante da mola e a frequência angular.

Passo 5

A amplitude ($ A A çãá v_{máx} $) e a frequência angular:
vmáx á
Assim, para encontrar $ A $:
vmáx = A omega á
Aqui, $ v_{máx} $ é dada como $ 20 , cm/s A 0{,}20 , m/s $).

Passo 6

A aceleração máxima ($ a_{máx} $) ocorre quando o corpo está na posição de máxima deslocação. A fórmula para $ a_{máx} $ é:
amáx á
Usamos a amplitude e a frequência angular para encontrar a aceleração máxima.

Passo 7

As funções de energia cinética ($ E_{cinética} Ecinética á E_{potencial} $) no movimento harmônico simples são dadas por:
Epotencial é
Ecinética(t) = 12 m v(t)^2
Onde $ v(t) $ é a velocidade no tempo $ t $ e $ x(t) $ é o deslocamento no tempo $ t $.

Passo 8

Para os gráficos da posição, velocidade, aceleração e energia mecânica, precisamos expressar cada uma dessas grandezas em função do tempo usando as equações do movimento harmônico simples:
x(t) = A cos(omega t + phi)
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi)
A energia mecânica total ($ E_{mecânica} $) é a soma da energia cinética e da energia potencial e, para um sistema conservativo como o de uma mola ideal, ela permanece constante:
Emecânica âé

Resposta

(a) O período $ T $ é $ T = \frac{1}{6{,}00 , Hz} = 0{,}1667 , s $.
(b) A frequência angular $ \omega $ é $ \omega = 2\pi \times 6{,}00 , Hz \approx 37{,}70 , rad/s $.
© A massa $ m $ do corpo é $ m = \frac{120 , N/m}{(37{,}70 , rad/s)^2} \approx 0{,}0844 , kg $.
(d) A amplitude $ A $ do movimento é $ A = \frac{0{,}20 , m/s}{37{,}70 , rad/s} \approx 0{,}0053 , m $.
(e) A aceleração máxima $ a_{máx} $ é $ a_{máx} = 0{,}0053 , m \times (37{,}70 , rad/s)^2 \approx 7{,}50 , m/s^2 $.
(f) As funções de energia são:
T é
T = 16,00 , Hz = 0,1667 , s
(g) Os gráficos das funções são:
omega
omega = 2pi times 6,00 , Hz approx 37,70 , rad/s
m
m = 120 , N/m(37,70 , rad/s)^2 approx 0,0844 , kg â

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