Uma partícula se move em uma órbita cuja a trajetória é descrita pelo seguinte vetor posição
(b) Encontre o vetor aceleração da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em movimento numa trajetória específica e pede para encontrarmos o vetor aceleração dela. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada primeira (que nos dá a velocidade) e a derivada segunda da posição em relação ao tempo para achar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o vetor posição
nos dá a localização da partícula em função do tempo
. A aceleração é a segunda derivada desse vetor em relação ao tempo. Ou seja:
Então, nosso objetivo é derivar duas vezes a expressão de
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
para encontrar a velocidade
:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada para encontrar a aceleração
:
Derivando novamente termo a termo:
Simplificando:
Resposta
O vetor aceleração da partícula é: