Uma partícula se move em uma órbita cuja a trajetória é descrita pelo seguinte vetor posição
r=4 a cos (2 omega t) i+4 a sen(2 omega t) j
(b) Encontre o vetor aceleração da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em movimento numa trajetória específica e pede para encontrarmos o vetor aceleração dela. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores em função do tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada primeira (que nos dá a velocidade) e a derivada segunda da posição em relação ao tempo para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o vetor posição r nos dá a localização da partícula em função do tempo t. A aceleração é a segunda derivada desse vetor em relação ao tempo. Ou seja:
a(t) = d^2 rdt^2
Então, nosso objetivo é derivar duas vezes a expressão de r.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de r para encontrar a velocidade v:
v(t) = d rdt = ddt [ 4a cos(2omega t) i + 4a sin(2omega t) j ]
Derivando termo a termo:
v(t) = -4a cdot 2omega sin(2omega t) i + 4a cdot 2omega cos(2omega t) j
Simplificando:
v(t) = -8aomega sin(2omega t) i + 8aomega cos(2omega t) j

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada para encontrar a aceleração a(t):
a(t) = d vdt = ddt [ -8aomega sin(2omega t) i + 8aomega cos(2omega t) j ]
Derivando novamente termo a termo:
a(t) = -8aomega cdot 2omega cos(2omega t) i - 8aomega cdot 2omega sin(2omega t) j
Simplificando:
a(t) = -16aomega^2 cos(2omega t) i - 16aomega^2 sin(2omega t) j

Resposta

O vetor aceleração da partícula é:
a(t) = -16aomega^2 cos(2omega t) i - 16aomega^2 sin(2omega t) j

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