Uma partícula se move em uma órbita cuja a trajetória é descrita pelo seguinte vetor posição
(a) Encontre o vetor velocidade e o módulo da velocidade.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre o movimento de uma partícula que segue uma trajetória descrita por um vetor posição. O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores posição, vetores velocidade e cálculo de derivadas para encontrar a velocidade. Vamos precisar entender como derivar funções vetoriais para encontrar a velocidade e depois calcular o módulo dessa velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição
nos dá a localização da partícula em qualquer instante de tempo
. No nosso caso, o vetor posição está dado por:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar o vetor velocidade
, precisamos derivar o vetor posição em relação ao tempo
. Ou seja:
Vamos derivar cada componente separadamente.
Passo 4
Derivando a componente
:
Derivando a componente
:
Passo 5
Agora, juntando as duas componentes derivadas, temos o vetor velocidade:
Passo 6
Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula:
Substituindo as componentes que encontramos:
Passo 7
Simplificando os termos dentro da raiz:
Fatorando
:
Passo 8
Lembrando que
:
Resposta
O vetor velocidade é
e o módulo da velocidade é
.