Uma partícula se move em uma órbita cuja a trajetória é descrita pelo seguinte vetor posição
r=4 a cos (2 omega t) i+4 a sen(2 omega t) j
(a) Encontre o vetor velocidade e o módulo da velocidade.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre o movimento de uma partícula que segue uma trajetória descrita por um vetor posição. O conteúdo que vamos usar aqui envolve vetores posição, vetores velocidade e cálculo de derivadas para encontrar a velocidade. Vamos precisar entender como derivar funções vetoriais para encontrar a velocidade e depois calcular o módulo dessa velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor posição r nos dá a localização da partícula em qualquer instante de tempo t. No nosso caso, o vetor posição está dado por:
r = 4 a cos(2 omega t) i + 4 a sin(2 omega t) j
Aqui, i e j são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o vetor velocidade v, precisamos derivar o vetor posição em relação ao tempo t. Ou seja:
v = drdt
Vamos derivar cada componente separadamente.

Passo 4

Derivando a componente x:
ddt[4 a cos(2 omega t)] = -4 a cdot 2 omega sin(2 omega t) = -8 a omega sin(2 omega t)
Derivando a componente y:
ddt[4 a sin(2 omega t)] = 4 a cdot 2 omega cos(2 omega t) = 8 a omega cos(2 omega t)

Passo 5

Agora, juntando as duas componentes derivadas, temos o vetor velocidade:
v = -8 a omega sin(2 omega t) i + 8 a omega cos(2 omega t) j

Passo 6

Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Substituindo as componentes que encontramos:
|v| = raiz(-8 a omega sin(2 omega t))^2 + (8 a omega cos(2 omega t))^2

Passo 7

Simplificando os termos dentro da raiz:
|v| = raiz64 a^2 omega^2 sin^2(2 omega t) + 64 a^2 omega^2 cos^2(2 omega t)
Fatorando 64 a^2 omega^2:
|v| = raiz64 a^2 omega^2 [sin^2(2 omega t) + cos^2(2 omega t)]

Passo 8

Lembrando que sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1:
|v| = raiz64 a^2 omega^2 cdot 1 = raiz64 a^2 omega^2 = 8 a omega

Resposta

O vetor velocidade é v = -8 a omega sin(2 omega t) i + 8 a omega cos(2 omega t) j e o módulo da velocidade é 8 a omega.

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