Um corpo de massa igual a 5,0 kg colide elasticamente com outro que se encontra inicialmente em repouso e continua sua trajetória no mesmo sentido, porém o módulo da velocidade se reduz a um quinto do módulo inicial. Calcule a massa do corpo atingido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma colisão elástica entre dois corpos. Temos um corpo de massa 5,0 , kg que está se movendo e colide com outro que está parado. Depois da colisão, o primeiro corpo continua no mesmo sentido, mas sua velocidade diminui para um quinto do que tinha inicialmente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a massa do segundo corpo que foi atingido. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis da conservação da quantidade de movimento e da energia cinética, que são fundamentais em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Massa do primeiro corpo, m1 = 5,0 , kg
  • Velocidade inicial do primeiro corpo, v1i = v0
  • Velocidade final do primeiro corpo, v1f = v05
  • Massa do segundo corpo, m2 = ?
  • Velocidade inicial do segundo corpo, v2i = 0 (está em repouso)
  • Velocidade final do segundo corpo, v2f = ?

Passo 3

Como a colisão é elástica, duas grandezas são conservadas: a quantidade de movimento e a energia cinética. Vamos usar essas duas conservações para formar nossas equações.
Conservação da quantidade de movimento:
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f
Como o segundo corpo está em repouso antes da colisão, v2i = 0. Então:
m1 v0 = m1 (v05) + m2 v2f
Conservação da energia cinética:
12 m1 v1i^2 + 12 m2 v2i^2 = 12 m1 v1f^2 + 12 m2 v2f^2
Novamente, v2i = 0, então:
12 m1 v0^2 = 12 m1 (v05)^2 + 12 m2 v2f^2

Passo 4

Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Começando pela conservação da quantidade de movimento:
Multiplicando tudo por 5 para eliminar a fração:
5 m1 v0 = m1 v0 + 5 m2 v2f
Subtraindo m1 v0 de ambos os lados:
4 m1 v0 = 5 m2 v2f
Isolando v2f:
v2f = 4 m1 v05 m2

Passo 5

Agora, vamos substituir v2f na equação da conservação da energia cinética:
Substituindo v2f:
m1 v0^2 = m1 (v05)^2 + m2 (4 m1 v05 m2)^2
Simplificando:
m1 v0^2 = m1 v0^225 + m2 (16 m1^2 v0^225 m2^2)
m1 v0^2 = m1 v0^225 + 16 m1^2 v0^225 m2

Passo 6

Vamos multiplicar toda a equação por 25 para eliminar os denominadores:
25 m1 v0^2 = m1 v0^2 + 16 m1^2 v0^2m2
Subtraindo m1 v0^2 de ambos os lados:
24 m1 v0^2 = 16 m1^2 v0^2m2
Observamos que v0^2 aparece nos dois lados e pode ser cancelado:
24 m1 = 16 m1^2m2

Passo 7

Agora, vamos resolver para m2:
Multiplicando ambos os lados por m2:
24 m1 m2 = 16 m1^2
Isolando m2:
m2 = 16 m1^224 m1
Simplificando:
m2 = 16 m124 = 23 m1
Substituindo o valor de m1 = 5,0 , kg:
m2 = 23 times 5,0 , kg = 103 , kg approx 3,33 , kg

Resposta

A massa do corpo atingido é de aproximadamente 3,33 , kg.

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