Num jogo de sinuca a bola golpeada pelo taco atinge outra bola inicialmente em repouso. Após a colisão a bola golpeada se move a numa direção que forma um ângulo de com a direção original do movimento. A segunda bola adquire velocidade igual a . Usando a conservação do momento linear determine: (a) o ângulo entre a direção do movimento da segunda bola e a direção original de movimento da bola golpeada e (b) o módulo da velocidade inicial da bola golpeada.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação de colisão entre duas bolas de sinuca. A bola que foi golpeada inicialmente em movimento colide com uma segunda bola que estava parada. Após a colisão:
  • A primeira bola (bola golpeada) se move a uma velocidade de formando um ângulo de com a direção original.
  • A segunda bola adquire uma velocidade de .
Queremos usar a conservação do momento linear para determinar:
(a) O ângulo entre a direção do movimento da segunda bola e a direção original da primeira bola.
(b) O módulo da velocidade inicial da primeira bola antes da colisão.
Para resolver isso, vamos precisar entender que, na ausência de forças externas, o momento linear total do sistema é conservado em ambas as direções, horizontal e vertical. Vamos usar isso para estabelecer equações que nos ajudarão a encontrar as respostas.

Passo 2

Vamos chamar a primeira bola de Bola 1 e a segunda de Bola 2.
Antes da colisão:
  • Bola 1 está se movendo com velocidade (que queremos encontrar).
  • Bola 2 está em repouso, então sua velocidade inicial .
Após a colisão:
  • Bola 1 se move com velocidade formando um ângulo com a direção original.
  • Bola 2 se move com velocidade formando um ângulo com a direção original (que queremos encontrar para o item a).

Passo 3

Vamos considerar que o movimento da Bola 1 está ao longo do eixo inicialmente. Após a colisão, ela se desvia formando um ângulo com o eixo , e a Bola 2 se move formando um ângulo que queremos determinar.
Como a conservação do momento linear deve valer em ambas as direções e , podemos escrever:
çã
çã
Note que a massa das bolas se cancela nas equações, simplificando nossos cálculos.

Passo 4

Vamos primeiramente resolver o item (a), que pede o ângulo .
Da conservação no eixo :
Isolando :
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando :
Então:
Agora, para encontrar , tiramos o arco seno:

Passo 5

Agora, vamos resolver o item (b), que pede o módulo da velocidade inicial da Bola 1 ( ).
Usando a conservação no eixo :
Substituindo os valores conhecidos e o ângulo que encontramos:
Calculando os cossenos:
Substituindo:

Resposta

(a) O ângulo entre a direção do movimento da segunda bola e a direção original da primeira bola é aproximadamente .
(b) O módulo da velocidade inicial da bola golpeada era de aproximadamente .

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