Num jogo de sinuca a bola golpeada pelo taco atinge outra bola inicialmente em repouso. Após a colisão a bola golpeada se move a
numa direção que forma um ângulo de
com a direção original do movimento. A segunda bola adquire velocidade igual a
. Usando a conservação do momento linear determine: (a) o ângulo entre a direção do movimento da segunda bola e a direção original de movimento da bola golpeada e (b) o módulo da velocidade inicial da bola golpeada.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação de colisão entre duas bolas de sinuca. A bola que foi golpeada inicialmente em movimento colide com uma segunda bola que estava parada. Após a colisão:
- A primeira bola (bola golpeada) se move a uma velocidade de
formando um ângulo de com a direção original. - A segunda bola adquire uma velocidade de
.
Queremos usar a conservação do momento linear para determinar:
(a) O ângulo entre a direção do movimento da segunda bola e a direção original da primeira bola.
(b) O módulo da velocidade inicial da primeira bola antes da colisão.
Para resolver isso, vamos precisar entender que, na ausência de forças externas, o momento linear total do sistema é conservado em ambas as direções, horizontal e vertical. Vamos usar isso para estabelecer equações que nos ajudarão a encontrar as respostas.
Passo 2
Vamos chamar a primeira bola de Bola 1 e a segunda de Bola 2.
Antes da colisão:
- Bola 1 está se movendo com velocidade
(que queremos encontrar). - Bola 2 está em repouso, então sua velocidade inicial
.
Após a colisão:
- Bola 1 se move com velocidade
formando um ângulo com a direção original. - Bola 2 se move com velocidade
formando um ângulo com a direção original (que queremos encontrar para o item a).
Passo 3
Vamos considerar que o movimento da Bola 1 está ao longo do eixo
inicialmente. Após a colisão, ela se desvia formando um ângulo
com o eixo
, e a Bola 2 se move formando um ângulo
que queremos determinar.
Como a conservação do momento linear deve valer em ambas as direções
e
, podemos escrever:
Note que a massa
das bolas se cancela nas equações, simplificando nossos cálculos.
Passo 4
Vamos primeiramente resolver o item (a), que pede o ângulo
.
Da conservação no eixo
:
Isolando
:
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando
:
Então:
Agora, para encontrar
, tiramos o arco seno:
Passo 5
Agora, vamos resolver o item (b), que pede o módulo da velocidade inicial da Bola 1 (
).
Usando a conservação no eixo
:
Substituindo os valores conhecidos e o ângulo
que encontramos:
Calculando os cossenos:
Substituindo:
Resposta
(a) O ângulo entre a direção do movimento da segunda bola e a direção original da primeira bola é aproximadamente
.
(b) O módulo da velocidade inicial da bola golpeada era de aproximadamente
.
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