Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine:
l) A energia total do sistema.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo de massa 1 kg preso a uma mola que oscila de acordo com a equação:
x(t) = sin(pi t - pi2)
Aqui, é a posição em metros e é o tempo em segundos. A matéria envolvida é o movimento harmônico simples (MHS), e para resolver, precisaremos usar conceitos de energia em sistemas oscilatórios.

Passo 2

No movimento harmônico simples, a energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. Essa energia total permanece constante durante a oscilação. A fórmula para a energia total ( E = 12kA^2 ) é:
Onde é a constante da mola e é a amplitude da oscilação.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar a amplitude ( A = 1 metro ) da oscilação na equação dada. A amplitude é o coeficiente que multiplica a função seno, que nesse caso é 1. Portanto,:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a constante da mola ( omega = pi rad/s ). Para isso, usamos a relação entre a massa ( omega = raizkm ), a frequência angular ( k = m omega^2 = 1 times pi^2 = pi^2 N/m ) e a constante da mola:
A fórmula que relaciona essas quantidades é:
Como kg, podemos rearranjar a fórmula para encontrar :

Passo 5

Com E = 12 times pi^2 times 1^2 = pi^22 J e conhecidos, substituímos na fórmula da energia total:

Resposta

A energia total do sistema é igual a joules.

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