Mola vertical em um campo gravitacional uniforme. Suponhamos uma massa m suspensa pela mola. Determine:
e) Mostre que, se a massa cair de x=0 à posição de equilíbrio estático, x=m g / k, a perda de energia potencial gravitacional transforma-se metade em energia potencial elástica e metade em energia cinética.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre uma mola vertical no campo gravitacional. A gente precisa mostrar que, quando uma massa cai da posição até a posição de equilíbrio estático , a energia potencial gravitacional perdida se divide igualmente entre energia potencial elástica e energia cinética. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional, energia potencial da mola e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a energia potencial gravitacional ( Ug = m g h ) que a massa possui inicialmente na posição Uginicial = m g ( m gk ) = m^2 g^2k . A fórmula para energia potencial gravitacional é:
Aqui, é a altura, que no nosso caso, quando a massa cai até a posição de equilíbrio, é . Então, a energia potencial gravitacional inicial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia potencial elástica ( Ue = 12 k x^2 ) da mola na posição de equilíbrio. A energia potencial elástica é dada por:
Ue = 12 k ( m gk )^2 = 12 k ( m^2 g^2k^2 ) = m^2 g^22 k
Substituindo :

Passo 4

A diferença entre a energia potencial gravitacional inicial e a energia potencial elástica final será a energia cinética ( K = Uginicial - Ue = m^2 g^2k - m^2 g^22 k = m^2 g^22 k ) no ponto de equilíbrio. Assim:

Passo 5

Observamos que tanto a energia potencial elástica quanto a energia cinética são iguais a . Isso mostra que a energia potencial gravitacional perdida foi dividida igualmente entre energia potencial elástica e energia cinética.

Resposta

A perda de energia potencial gravitacional se transforma igualmente em energia potencial elástica e energia cinética, ou seja, cada uma recebe metade da energia perdida:
De

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