Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular: Os valores máximos da aceleração e velocidade.
b) A aceleração e velocidade quando a coordenada é 9,0 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um corpo que está oscilando de maneira simples, tipo um pêndulo ou uma mola, com uma amplitude de 15 cm e uma frequência de 4,0 Hz. Vamos calcular duas coisas aqui: os valores máximos da aceleração e da velocidade desse corpo. Depois, vamos ver qual é a aceleração e a velocidade quando a posição dele é de 9,0 cm. Para isso, vamos usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS), que é a base para entender oscilações como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de duas fórmulas importantes no MHS:
  1. Velocidade Máxima ( vmax):
    vmax = A cdot omega
    Onde A é a amplitude e omega é a frequência angular.
  2. Aceleração Máxima ( amax):
    amax = A cdot omega^2
A frequência angular ( omega) está relacionada com a frequência ( f) pela fórmula:
omega = 2pi f

Passo 3

Vamos calcular omega primeiro. Sabemos que a frequência f = 4,0 , Hz.
omega = 2pi f = 2pi times 4,0 = 8pi , rad/s approx 25,13 , rad/s

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade máxima usando omega e a amplitude A = 15 , cm = 0,15 , m.
vmax = A cdot omega = 0,15 , m times 25,13 , rad/s approx 3,77 , m/s

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a aceleração máxima:
amax = A cdot omega^2 = 0,15 , m times (25,13)^2 approx 0,15 times 631,65 approx 94,75 , m/s^2

Passo 6

Resposta da parte a):
  • A velocidade máxima é aproximadamente 3,77 m/s.
  • A aceleração máxima é aproximadamente 94,75 m/s².

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) onde queremos saber a aceleração e a velocidade quando a coordenada x = 9,0 , cm = 0,09 , m.
No MHS, a velocidade v e a aceleração a em qualquer posição x são dadas por:
v = omega raizA^2 - x^2
a = omega^2 x

Passo 8

Vamos calcular a velocidade primeiro:
v = omega raizA^2 - x^2 = 25,13 , rad/s times raiz(0,15)^2 - (0,09)^2
= 25,13 times raiz0,0225 - 0,0081 = 25,13 times raiz0,0144 = 25,13 times 0,12 approx 3,02 , m/s

Passo 9

Agora, a aceleração:
a = omega^2 x = (25,13)^2 times 0,09 approx 631,65 times 0,09 approx 56,85 , m/s^2

Passo 10

Resposta da parte b):
  • Quando a coordenada é 9,0 cm, a velocidade é aproximadamente 3,02 m/s.
  • A aceleração é aproximadamente 56,85 m/s².

Resposta

a) Os valores máximos são:
  • Velocidade máxima ≈ 3,77 m/s
  • Aceleração máxima ≈ 94,75 m/s²
b) Quando a coordenada é 9,0 cm:
  • Velocidade ≈ 3,02 m/s
  • Aceleração ≈ 56,85 m/s²

Exercícios relacionados