Um corpo de massa 1 kg está preso a uma mola cuja constante de rigidez é 4 , c no tempo t = 0 o corpo recebe um golipe por cima, o qual comunica instantancamente um impulso de 1 unidade ao corpo. No tempo t = pi / 2 uma força senoidal de intensidade -sen(t - pi/2) começa a agir verticalmente sobre o sistema. Determine a função que descreve o movimento do corpo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde:
  • Massa ( m): 1 kg
  • Constante de rigidez da mola ( k): 4 N/m
No instante inicial ( ), a massa recebe um “golpe” que aplica um impulso de 1 unidade. Depois, no instante , começa a atuar uma força senoidal de intensidade . Nosso objetivo é determinar a função que descreve o movimento dessa massa ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e força externa aplicada a sistemas oscilatórios. Vamos resolver passo a passo para encontrar a função que descreve o deslocamento da massa em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o impulso inicial aplicado à massa no instante . O impulso ( J) está relacionado à variação do momento linear da massa. A fórmula é:
Onde:
  • J é o impulso
  • m é a massa
  • é a variação da velocidade
Dado que unidade e kg, podemos encontrar a velocidade inicial imediatamente após o impulso:
Então, a velocidade inicial ( ) da massa é 1 m/s.

Passo 3

Agora, vamos considerar o movimento da massa após o impulso, sem a força externa. Esse é um movimento harmônico simples com a solução geral:
Onde:
  • A e B são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais
  • é a frequência angular
Calculando omega:

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para determinar A e B. No instante , podemos considerar que o deslocamento inicial x(0) é zero (a mola está na posição de equilíbrio antes do impulso), então:
Portanto, . A solução simplifica para:
Agora, usamos a condição da velocidade inicial. A velocidade é a derivada do deslocamento:
No instante , m/s:
Então, a solução para é:

Passo 5

Agora, vamos considerar a força externa que começa a atuar no instante . A força é dada por:
Essa força introduz uma força adicional no sistema a partir de . A equação diferencial do movimento passa a ser:
Substituindo os valores de e m:

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral composta pela solução homogênea ( ) e pela solução particular ( ):
Solução Homogênea ( ):
A equação homogênea associada é:
A solução é:
Solução Particular ( ):
Para a força , assumimos uma solução particular na forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Então, a solução particular é:

Passo 7

Agora, juntamos as soluções homogênea e particular:
Precisamos determinar as constantes e C usando as condições de continuidade no instante D. Antes da força externa atuar, a solução é . Assim, no instante :
E a velocidade:
Aplicando essas condições na solução geral:
  1. Deslocamento em :
  1. Velocidade em :
Derivando a solução geral:
Substituindo e :

Passo 8

Com e , a solução geral para é:
Simplificando o termo usando a identidade trigonométrica :
Portanto, a função fica:

Resposta

A função que descreve o movimento do corpo é:

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