Um corpo de massa está preso a uma mola cuja constante de rigidez é 4 , c no tempo o corpo recebe um golipe por cima, o qual comunica instantancamente um impulso de 1 unidade ao corpo. No tempo uma força senoidal de intensidade começa a agir verticalmente sobre o sistema. Determine a função que descreve o movimento do corpo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde:
Massa (): 1 kg
Constante de rigidez da mola (): 4 N/m
No instante inicial (), a massa recebe um “golpe” que aplica um impulso de 1 unidade. Depois, no instante , começa a atuar uma força senoidal de intensidade . Nosso objetivo é determinar a função que descreve o movimento dessa massa ao longo do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e força externa aplicada a sistemas oscilatórios. Vamos resolver passo a passo para encontrar a função que descreve o deslocamento da massa em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o impulso inicial aplicado à massa no instante . O impulso () está relacionado à variação do momento linear da massa. A fórmula é:
Onde:
é o impulso
é a massa
é a variação da velocidade
Dado que unidade e kg, podemos encontrar a velocidade inicial imediatamente após o impulso:
Então, a velocidade inicial () da massa é 1 m/s.
Passo 3
Agora, vamos considerar o movimento da massa após o impulso, sem a força externa. Esse é um movimento harmônico simples com a solução geral:
Onde:
e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais
é a frequência angular
Calculando :
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais para determinar e . No instante , podemos considerar que o deslocamento inicial é zero (a mola está na posição de equilíbrio antes do impulso), então:
Portanto, . A solução simplifica para:
Agora, usamos a condição da velocidade inicial. A velocidade é a derivada do deslocamento:
No instante , m/s:
Então, a solução para é:
Passo 5
Agora, vamos considerar a força externa que começa a atuar no instante . A força é dada por:
Essa força introduz uma força adicional no sistema a partir de . A equação diferencial do movimento passa a ser:
Substituindo os valores de e :
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral composta pela solução homogênea () e pela solução particular ():
Solução Homogênea ():
A equação homogênea associada é:
A solução é:
Solução Particular ():
Para a força , assumimos uma solução particular na forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Agora, juntamos as soluções homogênea e particular:
Precisamos determinar as constantes e usando as condições de continuidade no instante . Antes da força externa atuar, a solução é . Assim, no instante :
E a velocidade:
Aplicando essas condições na solução geral:
Deslocamento em :
Velocidade em :
Derivando a solução geral:
Substituindo e :
Passo 8
Com e , a solução geral para é:
Simplificando o termo usando a identidade trigonométrica :