Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.
(-1)^n * ln(n) / n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se a sequência (-1)^n * ln(n) / n converge ou diverge e, se convergir, calcular o seu limite. Vamos usar conceitos de análise de sequências, como o critério da convergência e o limite de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência (-1)^n * ln(n) / n. Ela tem um termo , que alterna o sinal da expressão conforme n aumenta, e ln(n)/n, que é a parte que decide se a sequência tende a algum valor.

Passo 3

Vamos verificar o comportamento de ln(n)/n quando n tende ao infinito. Sabemos que cresce mais devagar que qualquer potência de n. Portanto, ln(n)/n vai se aproximar de zero conforme n aumenta.
Matematicamente:

Passo 4

Agora, considerando a alternância dos sinais por , temos que:
Como , a sequência inteira vai oscilar cada vez menos em torno de zero.

Passo 5

Para confirmar a convergência, podemos aplicar o Teorema das Sequências Alternadas (ou Teste de Leibniz), que diz que se uma sequência é positiva, decrescente e tende a zero, então a sequência alternada converge para zero.
No nosso caso, é positivo, decrescente para n suficientemente grande e . Portanto, a sequência converge.

Passo 6

Assim, concluímos que a sequência (-1)^n * ln(n) / n converge e o seu limite é zero.

Resposta

A sequência (-1)^n * ln(n) / n converge e seu limite é 0.

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