Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge e, se convergir, calcular o seu limite. Vamos usar conceitos de análise de sequências, como o critério da convergência e o limite de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Ela tem um termo
, que alterna o sinal da expressão conforme
aumenta, e
, que é a parte que decide se a sequência tende a algum valor.
Passo 3
Vamos verificar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce mais devagar que qualquer potência de
. Portanto,
vai se aproximar de zero conforme
aumenta.
Matematicamente:
Passo 4
Agora, considerando a alternância dos sinais por
, temos que:
Como
, a sequência inteira vai oscilar cada vez menos em torno de zero.
Passo 5
Para confirmar a convergência, podemos aplicar o Teorema das Sequências Alternadas (ou Teste de Leibniz), que diz que se uma sequência
é positiva, decrescente e tende a zero, então a sequência alternada
converge para zero.
No nosso caso,
é positivo, decrescente para
suficientemente grande e
. Portanto, a sequência
converge.
Passo 6
Assim, concluímos que a sequência
converge e o seu limite é zero.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.
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Simplifique
Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.