Uma particula de massa 1 kg é fixada a um mecanismo de mola com atrito. A constante de rigidez da mola E de 1 N/m e a força de atrito exercida sobre a partícula é duas vezes a sua velocidade. No instante t = 0, quando a particula está em repouso, uma força externa f(t) = e^(-t) é aplicada no sistema. No instante t = 1, uma força adicional g(t) de duração muito curta dot(epsilon) aplicada a particula. Esta força transmite um impulso de 3 N à particula. Determine a posição da particula no instante t com t > 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa presa a uma mola com constante elástica e sujeita a atrito, onde a força de atrito é duas vezes a velocidade da partícula. No instante , aplicamos uma força externa . No instante , aplicamos uma força adicional que transfere um impulso de . Queremos encontrar a posição da partícula para . Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton para sistemas amortecidos forçados e considerar o efeito do impulso aplicado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de movimento da partícula. Segundo a segunda lei de Newton:
Onde:
  • é a massa,
  • é o coeficiente de atrito,
  • é a constante da mola,
  • é a força externa aplicada para .

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
Característica desta equação é:
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, encontramos uma solução particular para a força forçada . Suponhamos uma solução da forma . Derivando e substituindo na equação original, encontramos que . Assim, a solução geral para é:
Como a partícula está em repouso em , aplicamos as condições iniciais e , o que nos dá e . Portanto, para :

Passo 5

No instante , ocorre um impulso de . O impulso altera a velocidade da partícula. A mudança na velocidade é dada por:
Então, a nova condição inicial para é que a velocidade imediatamente após é a derivada de em mais 3. Calculamos e usando a solução antes do impulso e aplicamos a mudança na velocidade.

Passo 6

Agora, para , resolvemos a equação homogênea:
A solução geral é:
Usamos as condições de continuidade em e a mudança na velocidade para determinar e . Após os cálculos, encontramos:
Substituindo os valores obtidos para e , chegamos à posição da partícula para .

Resposta

A posição da partícula para é dada por:

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