Uma particula de massa
é fixada a um mecanismo de mola com atrito. A constante de rigidez da mola
de
e a força de atrito exercida sobre a partícula é duas vezes a sua velocidade. No instante
, quando a particula está em repouso, uma força externa
é aplicada no sistema. No instante
, uma força adicional
de duração muito curta
aplicada a particula. Esta força transmite um impulso de
à particula. Determine a posição da particula no instante
com
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa
presa a uma mola com constante elástica
e sujeita a atrito, onde a força de atrito é duas vezes a velocidade da partícula. No instante
, aplicamos uma força externa
. No instante
, aplicamos uma força adicional que transfere um impulso de
. Queremos encontrar a posição da partícula para
. Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton para sistemas amortecidos forçados e considerar o efeito do impulso aplicado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de movimento da partícula. Segundo a segunda lei de Newton:
Onde:
-
é a massa, -
é o coeficiente de atrito, -
é a constante da mola, -
é a força externa aplicada para .
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial homogênea associada:
Característica desta equação é:
Resolvendo a equação característica:
Como temos uma raiz dupla, a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, encontramos uma solução particular para a força forçada
. Suponhamos uma solução da forma
. Derivando e substituindo na equação original, encontramos que
. Assim, a solução geral para
é:
Como a partícula está em repouso em
, aplicamos as condições iniciais
e
, o que nos dá
e
. Portanto, para
:
Passo 5
No instante
, ocorre um impulso de
. O impulso altera a velocidade da partícula. A mudança na velocidade é dada por:
Então, a nova condição inicial para
é que a velocidade imediatamente após
é a derivada de
em
mais 3. Calculamos
e
usando a solução antes do impulso e aplicamos a mudança na velocidade.
Passo 6
Agora, para
, resolvemos a equação homogênea:
A solução geral é:
Usamos as condições de continuidade em
e a mudança na velocidade para determinar
e
. Após os cálculos, encontramos:
Substituindo os valores obtidos para
e
, chegamos à posição da partícula para
.
Resposta
A posição da partícula para
é dada por:
Exercícios relacionados
Resolva:
b)
b)
Uma função
é chamada homogênea de
-ésimo grau, se
satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.
Um corpo de massa
está preso a uma mola cuja constante de rigidez é 4 , c no tempo
o corpo recebe um golipe por cima, o qual comunica instantancamente um impulso de 1 unidade ao corpo. No tempo
uma força senoidal de intensidade
começa a agir verticalmente sobre o sistema. Determine a função que descreve o movimento do corpo.