Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica ( ). A equação diferencial do movimento é dada por
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
a) O coeficiente de amortecimento.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um corpo de 1 kg que está se movendo em uma dimensão com amortecimento e uma força elástica que tem constante . A equação diferencial que descreve esse movimento é:
A solução geral dessa equação é dada por:
O que precisamos encontrar é o coeficiente de amortecimento . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre oscilações amortecidas e como identificar os parâmetros na solução da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a solução de uma equação de movimento com amortecimento. Em geral, para um sistema massa-mola com amortecimento, a solução pode ser escrita como:
Aqui, é o coeficiente de amortecimento, e é a frequência angular das oscilações amortecidas.
Comparando isso com a solução dada na questão:
Podemos identificar que:
  • O termo no expoente do representa , então .

Passo 3

Portanto, diretamente da comparação, vemos que o coeficiente de amortecimento é igual a .

Resposta

O coeficiente de amortecimento é .

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e) Mostre que, se a massa cair de à posição de equilíbrio estático, , a perda de energia potencial gravitacional transforma-se metade em energia potencial elástica e metade em energia cinética.
Uma onda senoidal
satisfaz a equação de onda exibida anteriorrmente. Usando o Sistema Internacional de medidas determine:
b) A frequência de oscilação ( ).
Uma onda senoidal
satisfaz a equação de onda exibida anteriorrmente. Usando o Sistema Internacional de medidas determine:
i) A direção de propagação.