Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica ( k=0,05 N / m ). A equação diferencial do movimento é dada por
d^2 xd t^2+2 gamma d^2 xd t^2+omega0^2 x=0
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
x(t)=e^-0,1 t[10 cos (0,5 t)+2 sen(0,5 t)]
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
a) O coeficiente de amortecimento.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um corpo de 1 kg que está se movendo em uma dimensão com amortecimento e uma força elástica que tem constante k = 0,05, N/m. A equação diferencial que descreve esse movimento é:
d^2 xd t^2 + 2 gamma d xd t + omega0^2 x = 0
A solução geral dessa equação é dada por:
x(t) = e^-0,1 t[10 cos (0,5 t) + 2 sin(0,5 t)]
O que precisamos encontrar é o coeficiente de amortecimento gamma. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre oscilações amortecidas e como identificar os parâmetros na solução da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a solução de uma equação de movimento com amortecimento. Em geral, para um sistema massa-mola com amortecimento, a solução pode ser escrita como:
x(t) = e^-gamma t(A cos(omega t) + B sin(omega t))
Aqui, gamma é o coeficiente de amortecimento, e omega é a frequência angular das oscilações amortecidas.
Comparando isso com a solução dada na questão:
x(t) = e^-0,1 t[10 cos (0,5 t) + 2 sin(0,5 t)]
Podemos identificar que:
  • O termo no expoente do e representa -gamma t, então 0,1 = gamma.

Passo 3

Portanto, diretamente da comparação, vemos que o coeficiente de amortecimento gamma é igual a 0,1.

Resposta

O coeficiente de amortecimento gamma é 0,1, s^-1.

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