Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica ( k=0,05 N / m ). A equação diferencial do movimento é dada por
d^2 xd t^2+2 gamma d^2 xd t^2+omega0^2 x=0
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
x(t)=e^-0,1 t[10 cos (0,5 t)+2 sen(0,5 t)]
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
d) A velocidade inicial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um corpo de 1 kg que se move em uma direção com amortecimento e está sujeito a uma força elástica. A equação do movimento e a solução geral da posição já foram fornecidas. Nosso objetivo aqui é determinar a velocidade inicial do corpo, ou seja, a velocidade no instante .

Passo 2

Para encontrar a velocidade inicial, precisamos calcular a derivada da posição em relação ao tempo . A derivada da posição nos dá a velocidade .

Passo 3

Vamos diferenciar a função v(t) = d x(t)d t = dd t ( e^-0,1 t [10 cos (0,5 t) + 2 sin (0,5 t)] ) em relação a .

Passo 4

Aplicando a regra do produto para derivadas, temos:
v(t) = e^-0,1 t cdot dd t [10 cos (0,5 t) + 2 sin (0,5 t)] + [10 cos (0,5 t) + 2 sin (0,5 t)] cdot dd t ( e^-0,1 t )

Passo 5

Calculando cada derivada separadamente:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da velocidade:
v(t) = e^-0,1 t [ -5 sin (0,5 t) + cos (0,5 t) ] + [10 cos (0,5 t) + 2 sin (0,5 t)] cdot (-0,1 e^-0,1 t)

Passo 7

Agora, encontramos a velocidade inicial substituindo v(0) = e^0 [ -5 sin (0) + cos (0) ] + [10 cos (0) + 2 sin (0)] cdot (-0,1 e^0) :
v(0) = 1 cdot [ -5 cdot 0 + 1 ] + [10 cdot 1 + 2 cdot 0 ] cdot (-0,1 cdot 1) = 1 - 1 = 0
Simplificando:

Resposta

A velocidade inicial é .

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