Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica (
). A equação diferencial do movimento é dada por
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
e) O amortecimento é supercrítico, crítico e subcrítico? Por quê?
e) O amortecimento é supercrítico, crítico e subcrítico? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de movimento amortecido de um corpo com massa de 1 kg, uma força elástica com constante
e uma equação diferencial que descreve esse movimento. Nosso objetivo é determinar se o amortecimento desse sistema é supercrítico, crítico ou subcrítico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas massa-mola com amortecimento e como identificar o tipo de amortecimento presente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação diferencial dada:
Aqui,
é o coeficiente de amortecimento e
é a frequência natural do sistema sem amortecimento. A solução geral fornecida é:
Passo 3
Vamos identificar os parâmetros importantes da solução para relacioná-los com a equação diferencial. Observamos que:
- O termo
indica o fator de amortecimento, que está relacionado com . - Dentro do colchete, temos uma combinação de funções cosseno e seno com frequência
, que corresponde à frequência amortecida .
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar a frequência natural
do sistema. Sabemos que:
Substituindo os valores dados:
Passo 5
Agora, observamos que o fator de amortecimento no expoente é
. Na equação diferencial, temos
, então:
Passo 6
A frequência amortecida
está relacionada com
e
pela fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
No entanto, na solução fornecida, a frequência é
. Isso sugere que houve uma inconsistência nos valores fornecidos ou na interpretação da equação diferencial. Para fins didáticos, vamos considerar que a frequência na solução corresponde à frequência amortecida verdadeira e proceder com a análise do tipo de amortecimento.
Passo 7
Para determinar o tipo de amortecimento, comparamos
com a frequência natural
:
- Subcrítico (Subamortecido): Quando
. O sistema oscila enquanto o movimento decai. - Crítico (Amortecimento crítico): Quando
. O sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar. - Supercrítico (Superamortecido): Quando
. O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso crítico.
Passo 8
Com os valores que calculamos:
Observamos que
, ou seja,
.
Passo 9
Como
é menor que
, concluímos que o amortecimento é subcrítico. Isso significa que o sistema vai oscilar enquanto a amplitude das oscilações decai ao longo do tempo devido ao amortecimento.
Resposta
O amortecimento do sistema é subcrítico, pois o coeficiente de amortecimento
é menor que a frequência natural
(
), resultando em oscilações decrescentes ao longo do tempo.
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Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
em que
é medido em metro e
em segundo. Determine:
h) A posição do corpo no instante inicial.
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Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
em que
é medido em metro e
em segundo. Determine:
c) O período de oscilação.
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Uma onda senoidal
satisfaz a equação de onda exibida anteriorrmente. Usando o Sistema Internacional de medidas determine:
d) Qual o valor e a unidade do produto entre .
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Uma onda senoidal
satisfaz a equação de onda exibida anteriorrmente. Usando o Sistema Internacional de medidas determine:
g) A amplitude máxima da onda.
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