Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica ( k=0,05 N / m ). A equação diferencial do movimento é dada por
d^2 xd t^2+2 gamma d^2 xd t^2+omega0^2 x=0
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
x(t)=e^-0,1 t[10 cos (0,5 t)+2 sen(0,5 t)]
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
e) O amortecimento é supercrítico, crítico e subcrítico? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de movimento amortecido de um corpo com massa de 1 kg, uma força elástica com constante e uma equação diferencial que descreve esse movimento. Nosso objetivo é determinar se o amortecimento desse sistema é supercrítico, crítico ou subcrítico. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas massa-mola com amortecimento e como identificar o tipo de amortecimento presente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação diferencial dada:
d^2 xd t^2 + 2 gamma d xd t + omega0^2 x = 0
Aqui, x(t) = e^-0,1 t [10 cos (0,5 t) + 2 sen(0,5 t)] é o coeficiente de amortecimento e é a frequência natural do sistema sem amortecimento. A solução geral fornecida é:

Passo 3

Vamos identificar os parâmetros importantes da solução para relacioná-los com a equação diferencial. Observamos que:
  • O termo indica o fator de amortecimento, que está relacionado com .
  • Dentro do colchete, temos uma combinação de funções cosseno e seno com frequência , que corresponde à frequência amortecida .

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar a frequência natural omega0 = raizkm do sistema. Sabemos que:
omega0 = raiz0,051 = raiz0,05 approx 0,2236 , rad/s
Substituindo os valores dados:

Passo 5

Agora, observamos que o fator de amortecimento no expoente é gamma = 0,12 = 0,05 , s^-1 . Na equação diferencial, temos , então:

Passo 6

A frequência amortecida omegad = raizomega0^2 - gamma^2 está relacionada com omegad = raiz0,05 - (0,05)^2 = raiz0,05 - 0,0025 = raiz0,0475 approx 0,2184 , rad/s e pela fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
No entanto, na solução fornecida, a frequência é . Isso sugere que houve uma inconsistência nos valores fornecidos ou na interpretação da equação diferencial. Para fins didáticos, vamos considerar que a frequência na solução corresponde à frequência amortecida verdadeira e proceder com a análise do tipo de amortecimento.

Passo 7

Para determinar o tipo de amortecimento, comparamos com a frequência natural :
  • Subcrítico (Subamortecido): Quando . O sistema oscila enquanto o movimento decai.
  • Crítico (Amortecimento crítico): Quando . O sistema retorna ao equilíbrio o mais rápido possível sem oscilar.
  • Supercrítico (Superamortecido): Quando . O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas mais lentamente que no caso crítico.

Passo 8

Com os valores que calculamos:
gamma = 0,05 , s^-1, omega0 approx 0,2236 , rad/s
Observamos que , ou seja, .

Passo 9

Como é menor que , concluímos que o amortecimento é subcrítico. Isso significa que o sistema vai oscilar enquanto a amplitude das oscilações decai ao longo do tempo devido ao amortecimento.

Resposta

O amortecimento do sistema é subcrítico, pois o coeficiente de amortecimento é menor que a frequência natural ( ), resultando em oscilações decrescentes ao longo do tempo.

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