Um corpo de massa m cai do repouso em um meio que oferece resistência proporcional ao quadrado da velocidade. Ache a relação entre a velocidade v e o tempo t. Ache a velocidade limite (isto é, a velocidade quando t -> infinito.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um corpo com massa m que está caindo do repouso em um ambiente onde a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade. Precisamos encontrar como a velocidade v varia com o tempo t e também descobrir qual é a velocidade limite, ou seja, a velocidade quando o tempo tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física, especificamente da dinâmica e das forças de resistência, e vamos precisar aplicar um pouco de cálculo para resolver as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando no corpo. Quando um corpo cai, duas forças principais agem sobre ele:
  1. A força da gravidade, que é , onde g é a aceleração da gravidade.
  2. A força de resistência do ar, que é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja, , onde k é uma constante de proporcionalidade.
Como o corpo está caindo para baixo, vamos considerar a direção para baixo como positiva. Assim, a força resultante F é a diferença entre a força da gravidade e a resistência do ar:

Passo 3

De acordo com a segunda lei de Newton, , onde a é a aceleração do corpo. Então podemos escrever:
Dividindo ambos os lados por m, temos:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade v muda com o tempo t. Para resolver essa equação, vamos reescrever de forma a separar as variáveis v e t:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar v em função de t.

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, podemos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a equação fica:
Essa integral é uma forma conhecida que pode ser resolvida usando funções arctanh ou arctan, dependendo dos sinais. Vamos rearranjar:
Integrando, obtemos:
Onde C é a constante de integração. Como o corpo parte do repouso, quando , , então .

Passo 6

Resolvendo para v, temos:
Isolando v:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Agora, para encontrar a velocidade limite, ou seja, a velocidade quando t -> infinito, observamos que tende a 1 quando x -> infinito. Portanto:

Resposta

A relação entre a velocidade v e o tempo t é:
E a velocidade limite, quando t tende ao infinito, é:

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