Um corpo de massa
cai do repouso em um meio que oferece resistência proporcional ao quadrado da velocidade. Ache a relação entre a velocidade
e o tempo
. Ache a velocidade limite (isto é, a velocidade quando
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um corpo com massa
que está caindo do repouso em um ambiente onde a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade. Precisamos encontrar como a velocidade
varia com o tempo
e também descobrir qual é a velocidade limite, ou seja, a velocidade quando o tempo tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Física, especificamente da dinâmica e das forças de resistência, e vamos precisar aplicar um pouco de cálculo para resolver as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando no corpo. Quando um corpo cai, duas forças principais agem sobre ele:
- A força da gravidade, que é
, onde é a aceleração da gravidade. - A força de resistência do ar, que é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja,
, onde é uma constante de proporcionalidade.
Como o corpo está caindo para baixo, vamos considerar a direção para baixo como positiva. Assim, a força resultante
é a diferença entre a força da gravidade e a resistência do ar:
Passo 3
De acordo com a segunda lei de Newton,
, onde
é a aceleração do corpo. Então podemos escrever:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial que descreve como a velocidade
muda com o tempo
. Para resolver essa equação, vamos reescrever de forma a separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
.
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo, podemos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a equação fica:
Essa integral é uma forma conhecida que pode ser resolvida usando funções arctanh ou arctan, dependendo dos sinais. Vamos rearranjar:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração. Como o corpo parte do repouso, quando
,
, então
.
Passo 6
Resolvendo para
, temos:
Isolando
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Agora, para encontrar a velocidade limite, ou seja, a velocidade quando
, observamos que
tende a
quando
. Portanto:
Resposta
A relação entre a velocidade
e o tempo
é:
E a velocidade limite, quando
tende ao infinito, é: