Encontre a solução das seguintes equações
x + (x^2 + 4) y y' = 0, y(4) = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
com a condição inicial . O conteúdo principal aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como separar as variáveis e integrar funções. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis. Nossa equação é:
Vamos isolar :
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Percebemos que pode ser reescrito como a derivada de . Ou seja:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente :

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado direito. Observamos que o numerador é a derivada do denominador:
Fazendo a substituição , então . Assim:

Passo 6

Substituímos de volta na expressão para :
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada:

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Portanto:

Passo 8

Substituímos de volta na expressão para :
Podemos simplificar usando propriedades do logaritmo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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