Encontre a solução das seguintes equações
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma equação diferencial:
com a condição inicial
. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar saber como separar as variáveis e integrar funções. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação das variáveis. Nossa equação é:
Vamos isolar
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Percebemos que
pode ser reescrito como a derivada de
. Ou seja:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado direito. Observamos que o numerador é a derivada do denominador:
Fazendo a substituição
, então
. Assim:
Passo 6
Substituímos de volta na expressão para
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Portanto:
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão para
:
Podemos simplificar usando propriedades do logaritmo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: