Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial na forma
. A pergunta é sobre quando essa equação pode ter um “fator integrante” que depende só de
, ou seja, uma função
que, quando multiplicada pela equação original, a torna exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e como encontrar esse fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação
é exata se existir uma função
tal que
e
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
coincidem com
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, para que a equação seja exata, deve valer a condição de exatidão:
. Ou seja, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
. Se essa condição não for satisfeita, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata.
Passo 4
Vamos supor que existe um fator integrante
que depende apenas de
. Quando multiplicamos a equação original por
, obtemos:
Para que essa nova equação seja exata, a condição de exatidão deve ser satisfeita para os novos coeficientes:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Onde
é a derivada de
em relação a
. Podemos rearranjar essa equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 6
A equação acima mostra que
deve ser igual a
. O lado direito depende apenas de
porque
é uma função de
somente. Portanto, para que exista um fator integrante
, a expressão
também deve depender apenas de
.
Resposta
Concluímos que, para existir um fator integrante
que depende somente de
, é necessário que a expressão
também dependa apenas de
.