Justifique que para que uma equação diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 admita um fator integrante mu = mu(y), dependendo só de y, é necessário que (Nx - My) / M dependa só de y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial na forma . A pergunta é sobre quando essa equação pode ter um “fator integrante” que depende só de y, ou seja, uma função mu(y) que, quando multiplicada pela equação original, a torna exata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma equação diferencial exata e como encontrar esse fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação é exata se existir uma função F(x, y) tal que e . Isso significa que as derivadas parciais de F em relação a x e y coincidem com M e N, respectivamente.

Passo 3

Agora, para que a equação seja exata, deve valer a condição de exatidão: . Ou seja, a derivada parcial de M em relação a y deve ser igual à derivada parcial de N em relação a x. Se essa condição não for satisfeita, a equação não é exata e precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata.

Passo 4

Vamos supor que existe um fator integrante mu(y) que depende apenas de y. Quando multiplicamos a equação original por mu(y), obtemos:
Para que essa nova equação seja exata, a condição de exatidão deve ser satisfeita para os novos coeficientes:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Onde é a derivada de mu em relação a y. Podemos rearranjar essa equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 6

A equação acima mostra que deve ser igual a . O lado direito depende apenas de y porque mu é uma função de y somente. Portanto, para que exista um fator integrante mu(y), a expressão também deve depender apenas de y.

Resposta

Concluímos que, para existir um fator integrante mu(y) que depende somente de y, é necessário que a expressão também dependa apenas de y.

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