Um corpo de massa m parte do repouso, descendo um plano inclinado de comprimento I, que forma um ângulo de inclinação theta com a horizontal. (a) Sendo mu o coeficiente de atrito, determine a velocidade do corpo na base do plano. (b) Que distância d ele percorreria em uma superfície semelhante, depois de atingir a base do declive? (Use o princípio de conservação de energia).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo de massa m que começa parado e desce um plano inclinado de comprimento I e ângulo theta. Tem um atrito com coeficiente mu. A primeira parte do exercício quer saber qual a velocidade do corpo na base do plano. A segunda parte pergunta qual a distância d que ele percorrerá em uma superfície parecida depois de chegar na base, usando conservação de energia. Vamos precisar usar as Leis de Newton, conceitos de movimento e conservação de energia pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Como o corpo está descendo o plano inclinado com atrito, a força resultante que atua nele é a componente do peso ao longo do plano menos a força de atrito.
A componente do peso ao longo do plano é mg sintheta e a força de atrito é f = mu N, onde N = mg costheta é a força normal. Então, a força total F que acelera o corpo é:
F = mg sintheta - mu mg costheta

Passo 3

A segunda lei de Newton diz que F = ma, onde a é a aceleração. Substituindo F:
ma = mg sintheta - mu mg costheta
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m:
a = g sintheta - mu g costheta

Passo 4

Como o corpo parte do repouso, a velocidade final v na base do plano pode ser encontrada usando a equação de movimento:
v^2 = v0^2 + 2aI
Como v0 = 0:
v = raiz2aI
Substituindo a:
v = raiz2I ( g sintheta - mu g costheta )

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber a distância d que o corpo percorrerá na superfície plana após atingir a base. Vamos usar o princípio da conservação de energia.
Inicialmente, na base do plano, o corpo tem energia cinética:
Ek = 12mv^2
Quando ele anda na superfície plana até parar, essa energia é dissipada pelo trabalho da força de atrito:
Ek = f d = mu mg d

Passo 6

Igualando as duas expressões:
12mv^2 = mu mg d
Podemos simplificar dividindo por m:
12v^2 = mu g d
E isolando d:
d = v^22mu g
Substituindo v da parte (a):
d = 2I ( g sintheta - mu g costheta )2mu g
Simplificando:
d = I ( sintheta - mu costheta )mu

Resposta

A velocidade do corpo na base do plano é:
v = raiz2I ( g sintheta - mu g costheta )
E a distância que ele percorrerá na superfície plana é:
d = I ( sintheta - mu costheta )mu

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