Um corpo de massa
parte do repouso, descendo um plano inclinado de comprimento I, que forma um ângulo de inclinação
com a horizontal. (a) Sendo
o coeficiente de atrito, determine a velocidade do corpo na base do plano. (b) Que distância d ele percorreria em uma superfície semelhante, depois de atingir a base do declive? (Use o princípio de conservação de energia).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um corpo de massa
que começa parado e desce um plano inclinado de comprimento
e ângulo
. Tem um atrito com coeficiente
. A primeira parte do exercício quer saber qual a velocidade do corpo na base do plano. A segunda parte pergunta qual a distância
que ele percorrerá em uma superfície parecida depois de chegar na base, usando conservação de energia. Vamos precisar usar as Leis de Newton, conceitos de movimento e conservação de energia pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a). Como o corpo está descendo o plano inclinado com atrito, a força resultante que atua nele é a componente do peso ao longo do plano menos a força de atrito.
A componente do peso ao longo do plano é
e a força de atrito é
, onde
é a força normal. Então, a força total
que acelera o corpo é:
Passo 3
A segunda lei de Newton diz que
, onde
é a aceleração. Substituindo
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Como o corpo parte do repouso, a velocidade final
na base do plano pode ser encontrada usando a equação de movimento:
Como
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber a distância
que o corpo percorrerá na superfície plana após atingir a base. Vamos usar o princípio da conservação de energia.
Inicialmente, na base do plano, o corpo tem energia cinética:
Quando ele anda na superfície plana até parar, essa energia é dissipada pelo trabalho da força de atrito:
Passo 6
Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar dividindo por
:
E isolando
:
Substituindo
da parte (a):
Simplificando:
Resposta
A velocidade do corpo na base do plano é:
E a distância que ele percorrerá na superfície plana é: