A força exercida por um gás dentro de um cilindro sobre um pistão de área
é dada por
, onde
é a pressão. O trabalho
para um deslocamento do pistão desde
a
é:
, onde
é a variação infinitesimal do volume do gás. Durante uma expansão do gás à temperatura constante (isotérmica) a pressão depende do volume de acordo com a relação
, onde
e
são constantes e
é a temperatura. Calcular o trabalho numa expansão isotérmica desde um volume
até
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o trabalho realizado por um gás durante uma expansão isotérmica dentro de um cilindro. A matéria que estamos lidando aqui é Termodinâmica, especificamente sobre trabalho em processos isotérmicos. Para resolver, vamos precisar entender como a pressão está relacionada ao volume nesse tipo de processo e aplicar a fórmula do trabalho
para uma expansão de gás.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um gás quando ele se expande ou comprime é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matemáticamente, isso é representado por:
Como a força
é
(onde
é a pressão e
é a área do pistão), podemos substituir na equação:
Mas sabemos que
é a variação de volume
, então ficamos com:
Passo 3
Agora, como o processo é isotérmico (temperatura constante), a pressão
depende do volume
de acordo com a lei dos gases ideais rearranjada:
Aqui,
é a quantidade de mols,
é a constante dos gases e
é a temperatura.
Passo 4
Vamos substituir essa expressão de
na equação do trabalho:
Como
,
e
são constantes durante o processo isotérmico, podemos tirá-los da integral:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
. Então, resolvendo a integral:
Utilizando propriedades dos logaritmos, isso pode ser simplificado para:
Resposta
O trabalho realizado na expansão isotérmica é dado por:
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