A força exercida por um gás dentro de um cilindro sobre um pistão de área A é dada por F=p A, onde p é a pressão. O trabalho tau para um deslocamento do pistão desde x1 a x2 é: tau=integral Fdx=integral p Adx=integral pdV, onde d V é a variação infinitesimal do volume do gás. Durante uma expansão do gás à temperatura constante (isotérmica) a pressão depende do volume de acordo com a relação p=n R T / V, onde n e R são constantes e T é a temperatura. Calcular o trabalho numa expansão isotérmica desde um volume V1 até V2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o trabalho realizado por um gás durante uma expansão isotérmica dentro de um cilindro. A matéria que estamos lidando aqui é Termodinâmica, especificamente sobre trabalho em processos isotérmicos. Para resolver, vamos precisar entender como a pressão está relacionada ao volume nesse tipo de processo e aplicar a fórmula do trabalho para uma expansão de gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um gás quando ele se expande ou comprime é dado pela integral da força em relação ao deslocamento. Matemáticamente, isso é representado por:
tau = integralx1^x2 F , dx
Como a força tau = integralx1^x2 pA , dx é tau = integralV1^V2 p , dV (onde é a pressão e é a área do pistão), podemos substituir na equação:
Mas sabemos que é a variação de volume , então ficamos com:

Passo 3

Agora, como o processo é isotérmico (temperatura constante), a pressão p = nRTV depende do volume de acordo com a lei dos gases ideais rearranjada:
Aqui, é a quantidade de mols, é a constante dos gases e é a temperatura.

Passo 4

Vamos substituir essa expressão de tau = integralV1^V2 nRTV , dV na equação do trabalho:
tau = nRT integralV1^V2 1V , dV
Como , e são constantes durante o processo isotérmico, podemos tirá-los da integral:

Passo 5

A integral de tau = nRT [ ln V ]V1^V2 = nRT ( ln V2 - ln V1 ) em relação a tau = nRT ln ( V2V1 ) é o logaritmo natural de . Então, resolvendo a integral:
Utilizando propriedades dos logaritmos, isso pode ser simplificado para:

Resposta

O trabalho realizado na expansão isotérmica é dado por:
tau = nRT ln ( V2V1 )

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