Um corpo move-se ao longo do eixo X, segundo a lei
x=2 t^3+5 t^2+5
onde x é expressa em metros e t em segundos.
Achar:
A velocidade e a aceleração médias entre t=2 s e t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de um corpo ao longo do eixo $ X $ e nos pede para encontrar a velocidade média e a aceleração média entre $ t = 2 $ segundos e $ t = 3 $ segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média nesse intervalo de tempo. A velocidade média ($ v_{média} $) é dada pela fórmula:
vmédia é
Onde:
  • $ \Delta x $ é a variação da posição.
  • $ \Delta t $ é a variação do tempo.
Então, precisamos encontrar as posições do corpo nos instantes $ t = 2 $ s e $ t = 3 $ s.

Passo 3

Vamos calcular $ x $ quando $ t = 2 $ segundos:
x
Agora, $ x $ quando $ t = 3 $ segundos:
t = 2

Passo 4

Com as posições em $ t = 2 $ s e $ t = 3 $ s, vamos calcular a variação da posição ($ \Delta x t = 2 çã \Delta t $):
t = 3
De
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:
Deé

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração média ($ a_{média} $). A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo tempo, dada por:
amédia é
Para isso, precisamos determinar as velocidades no instante $ t = 2 $ s e $ t = 3 $ s. Vamos primeiro encontrar a expressão da velocidade ($ v(t) amédia = Deçã x(t) $) em relação ao tempo.

Passo 6

A função posição é:
x(t) = 2t^3 + 5t^2 + 5
A velocidade é a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $:
x(t)

Passo 7

Vamos calcular $ v(2) $ e $ v(3) $:
Para $ t = 2 $ s:
v(2)
Para $ t = 3 $ s:
v(3)

Passo 8

Agora, vamos calcular a variação da velocidade ($ \Delta v $):
De
E lembrando que $ \Delta t = 1 $ s, aplicamos na fórmula da aceleração média:
Deé

Resposta

A velocidade média entre $ t = 2 $ s e $ t = 3 $ s é 63 m/s e a aceleração média é 40 m/s².

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