A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação
x=A t^2-B t^3
sendo x em metros e t em segundos
Sendo 3 e 1 os valores de A e B em unidades S.I, em que instante a partícula alcança a posição máxima em x?

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a posição dependendo do tempo pela equação:
x
Onde $ x $ está em metros, $ t $ em segundos, e $ A = 3 $, $ B = 1 $. O que queremos descobrir é em que instante $ t $ a partícula atinge a posição máxima ao longo de $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de $ A $ e $ B $ na equação da posição para simplificar:
A
Então, nossa função de posição fica:
B

Passo 3

Agora, para encontrar o instante em que a partícula atinge a posição máxima, precisamos descobrir quando a velocidade da partícula é zero, ou seja, quando a derivada da posição em relação ao tempo é igual a zero. Então, vamos calcular a derivada de $ x(t) $:
x(t)

Passo 4

Calculando a derivada termo a termo:
  • A derivada de $ 3t^{2} $ é $ 6t $.
  • A derivada de $ -t^{3} $ é $ -3t^{2} $.
Então, a derivada da posição fica:
3t^2

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos (onde a velocidade é zero), igualamos a derivada a zero:
6t - 3t^2 = 0
Podemos fatorar:
3t(2 - t) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação fatorada:
3t = 0 Rightarrow t = 0
2 - t = 0 Rightarrow t = 2
Então, temos dois valores de $ t $: $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos.

Passo 7

O $ t = 0 $ é o instante inicial, onde a posição pode ser zero ou um valor mínimo. O que nos interessa é $ t = 2 $ segundos. Para confirmar que é um ponto máximo, podemos verificar a segunda derivada ou observar o comportamento da função. Neste caso, $ t = 2 $ é o instante em que a partícula atinge a posição máxima.

Resposta

A partícula atinge a posição máxima em $ t = 2 $ segundos.

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