A posição de uma partícula ao longo do eixo
depende do tempo de acordo com a equação
sendo
em metros e
em segundos
Sendo 3 e 1 os valores de
e
em unidades S.I, em que instante a partícula alcança a posição máxima em
?
Sendo 3 e 1 os valores de
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão aqui. Temos uma partícula que se move ao longo do eixo $ x $ com a posição dependendo do tempo pela equação:
Onde $ x $ está em metros, $ t $ em segundos, e $ A = 3 $, $ B = 1 $. O que queremos descobrir é em que instante $ t $ a partícula atinge a posição máxima ao longo de $ x $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores de $ A $ e $ B $ na equação da posição para simplificar:
Então, nossa função de posição fica:
Passo 3
Agora, para encontrar o instante em que a partícula atinge a posição máxima, precisamos descobrir quando a velocidade da partícula é zero, ou seja, quando a derivada da posição em relação ao tempo é igual a zero. Então, vamos calcular a derivada de $ x(t) $:
Passo 4
Calculando a derivada termo a termo:
- A derivada de $ 3t^{2} $ é $ 6t $.
- A derivada de $ -t^{3} $ é $ -3t^{2} $.
Então, a derivada da posição fica:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos (onde a velocidade é zero), igualamos a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Passo 6
Resolvendo a equação fatorada:
Então, temos dois valores de $ t $: $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos.
Passo 7
O $ t = 0 $ é o instante inicial, onde a posição pode ser zero ou um valor mínimo. O que nos interessa é $ t = 2 $ segundos. Para confirmar que é um ponto máximo, podemos verificar a segunda derivada ou observar o comportamento da função. Neste caso, $ t = 2 $ é o instante em que a partícula atinge a posição máxima.
Resposta
A partícula atinge a posição máxima em $ t = 2 $ segundos.