Um corpo move-se ao longo de uma reta de acordo com a lei: . Se quando , determinar o valor de x quando . Determinar, também, a aceleração neste instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a velocidade de um corpo ao longo do tempo é dada por . Sabemos que quando o tempo segundos, a posição metros. Precisamos descobrir qual é a posição quando segundos e também encontrar a aceleração nesse instante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integração para encontrar a posição e derivação para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição em segundos. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para encontrar a posição, precisamos integrar a função da velocidade.
A integral de em relação a nos dá a posição:

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo:
Integrando cada termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial que nos foi dada: quando s, m.
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para :

Passo 6

Vamos calcular :
Para somar, vamos converter tudo para ter o mesmo denominador, que será 12:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração no instante s. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos :
Substituindo :

Resposta

Quando segundos, a posição é aproximadamente metros e a aceleração neste instante é de .

Exercícios relacionados

Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
, onde x , y e z são medidos em metros e t em segundos. Ache:
(a) vetor velocidade em qualquer instante ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante t;
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por , onde x está em metros e em segundos.
(a) Qual a posição do objeto em e ?
(b) Qual o deslocamento do objeto entre 0 e 4 s?
© Qual a velocidade média para o intervalo de tempo de e ? .
Se , é verdade que
(a) ?
(b) ?
. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
© O vetor aceleração média entre .
(d) O tempo, quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 o com o eixo .