Um corpo move-se ao longo de uma reta de acordo com a lei:
. Se
quando
, determinar o valor de x quando
. Determinar, também, a aceleração neste instante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a velocidade de um corpo ao longo do tempo é dada por
. Sabemos que quando o tempo
segundos, a posição
metros. Precisamos descobrir qual é a posição
quando
segundos e também encontrar a aceleração nesse instante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integração para encontrar a posição e derivação para achar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição
em
segundos. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para encontrar a posição, precisamos integrar a função da velocidade.
A integral de
em relação a
nos dá a posição:
Passo 3
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Integrando cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial que nos foi dada: quando
s,
m.
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora que temos
, podemos escrever a expressão completa para
:
Passo 6
Vamos calcular
:
Para somar, vamos converter tudo para ter o mesmo denominador, que será 12:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a aceleração no instante
s. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos
:
Substituindo
:
Resposta
Quando
segundos, a posição
é aproximadamente
metros e a aceleração neste instante é de
.
Exercícios relacionados
Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
, onde x , y e z são medidos em metros e t em segundos. Ache:
(a) vetor velocidade em qualquer instante
;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante t;
(a)
(b) o vetor aceleração em qualquer instante t;
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por
, onde x está em metros e
em segundos.
(a) Qual a posição do objeto em e
?
(b) Qual o deslocamento do objeto entre 0 e 4 s?
© Qual a velocidade média para o intervalo de tempo de e
? .
(a) Qual a posição do objeto em
(b) Qual o deslocamento do objeto entre 0 e 4 s?
© Qual a velocidade média para o intervalo de tempo de
Se
, é verdade que
(a) ?
(b) ?
(a)
(b)
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
© O vetor aceleração média entre
(d) O tempo, quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 o com o eixo