Um corpo move-se ao longo de uma reta de acordo com a lei: v=t^3+4 t^2+2. Se x=4 m quando t=2 s, determinar o valor de x quando t=3 s. Determinar, também, a aceleração neste instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que a velocidade de um corpo ao longo do tempo é dada por . Sabemos que quando o tempo segundos, a posição metros. Precisamos descobrir qual é a posição quando segundos e também encontrar a aceleração nesse instante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente integração para encontrar a posição e derivação para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição x(t) = integral v(t) , dt = integral (t^3 + 4t^2 + 2) , dt em segundos. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para encontrar a posição, precisamos integrar a função da velocidade.
A integral de em relação a nos dá a posição:

Passo 3

Vamos calcular essa integral passo a passo:
x(t) = integral t^3 , dt + integral 4t^2 , dt + integral 2 , dt
Integrando cada termo:
x(t) = t^44 + 4t^33 + 2t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar o valor de 4 = 2^44 + 4 cdot 2^33 + 2 cdot 2 + C , usamos a condição inicial que nos foi dada: quando 4 = 164 + 323 + 4 + C s, 4 = 4 + 323 + 4 + C m.
Substituindo na equação:
4 = 8 + 323 + C
C = 4 - 8 - 323 = -4 - 323 = -443

Passo 5

Agora que temos x(t) = t^44 + 4t^33 + 2t - 443 , podemos escrever a expressão completa para :

Passo 6

Vamos calcular x(3) = 3^44 + 4 cdot 3^33 + 2 cdot 3 - 443 :
x(3) = 814 + 1083 + 6 - 443
x(3) = 814 + 36 + 6 - 443
x(3) = 24312 + 43212 + 7212 - 17612
Para somar, vamos converter tudo para ter o mesmo denominador, que será 12:
x(3) = 243 + 432 + 72 - 17612 = 57112 approx 47,58 metros

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração no instante a(t) = dvdt = ddt(t^3 + 4t^2 + 2) = 3t^2 + 8t s. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, derivamos a(3) = 3 cdot 3^2 + 8 cdot 3 = 3 cdot 9 + 24 = 27 + 24 = 51 m/s^2 :
Substituindo :

Resposta

Quando segundos, a posição é aproximadamente metros e a aceleração neste instante é de .

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