Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
, onde x , y e z são medidos em metros e t em segundos. Ache:
(a) vetor velocidade em qualquer instante ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre o movimento de um ponto no espaço, com as posições nas direções x, y e z definidas por funções do tempo . A matéria envolvida aqui é Cinemática, que estuda o movimento sem considerar suas causas. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar calcular as derivadas dessas funções em relação ao tempo. Isso nos dará o vetor velocidade e o vetor aceleração, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor velocidade. Ele nos mostra quão rápido e em que direção o ponto está se movendo em qualquer instante . Matematicamente, o vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
As funções de posição são:
Vamos calcular a derivada de cada uma delas.

Passo 3

Calculando a derivada de :

Passo 4

Calculando a derivada de :

Passo 5

Calculando a derivada de :

Passo 6

Agora, juntando tudo, o vetor velocidade fica:

Passo 7

Agora, vamos para o vetor aceleração. A aceleração indica como a velocidade está mudando com o tempo. Para encontrar a aceleração, precisamos derivar novamente o vetor velocidade em relação ao tempo.

Passo 8

Derivando :

Passo 9

Derivando :

Passo 10

Derivando :

Passo 11

Assim, o vetor aceleração é:

Resposta

(a) O vetor velocidade em qualquer instante é:
(b) O vetor aceleração em qualquer instante é:
²

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(a) Qual a posição do objeto em e ?
(b) Qual o deslocamento do objeto entre 0 e 4 s?
© Qual a velocidade média para o intervalo de tempo de e ? .
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(a) Ache o vetor posição da bola depois de ;
(b) Encontre o vetor velocidade depois de ;
© Calcule a altura máxima de sua trajetória;
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Se , é verdade que
(a) ?
(b) ?