Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
x(t)=3 t^2+3 t^3 ; y(t)=5 t^2-4 t^4 ; z(t)=10 t-6 t^3, onde x , y e z são medidos em metros e t em segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante t;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre o movimento de um ponto no espaço, com as posições nas direções x, y e z definidas por funções do tempo . A matéria envolvida aqui é Cinemática, que estuda o movimento sem considerar suas causas. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar calcular as derivadas dessas funções em relação ao tempo. Isso nos dará o vetor velocidade e o vetor aceleração, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor velocidade. Ele nos mostra quão rápido e em que direção o ponto está se movendo em qualquer instante x(t) = 3t^2 + 3t^3 y(t) = 5t^2 - 4t^4 z(t) = 10t - 6t^3 . Matematicamente, o vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
As funções de posição são:
Vamos calcular a derivada de cada uma delas.

Passo 3

Calculando a derivada de vx(t) = dxdt = ddt(3t^2 + 3t^3) = 6t + 9t^2 :

Passo 4

Calculando a derivada de vy(t) = dydt = ddt(5t^2 - 4t^4) = 10t - 16t^3 :

Passo 5

Calculando a derivada de vz(t) = dzdt = ddt(10t - 6t^3) = 10 - 18t^2 :

Passo 6

Agora, juntando tudo, o vetor velocidade v(t) = lang<= 6t + 9t^2,, 10t - 16t^3,, 10 - 18t^2 rang<= fica:

Passo 7

Agora, vamos para o vetor aceleração. A aceleração indica como a velocidade está mudando com o tempo. Para encontrar a aceleração, precisamos derivar novamente o vetor velocidade em relação ao tempo.

Passo 8

Derivando ax(t) = dvxdt = ddt(6t + 9t^2) = 6 + 18t :

Passo 9

Derivando ay(t) = dvydt = ddt(10t - 16t^3) = 10 - 48t^2 :

Passo 10

Derivando az(t) = dvzdt = ddt(10 - 18t^2) = -36t :

Passo 11

Assim, o vetor aceleração a(t) = lang<= 6 + 18t,, 10 - 48t^2,, -36t rang<= é:

Resposta

(a) O vetor velocidade em qualquer instante v(t) = lang<= 6t + 9t^2,; 10t - 16t^3,; 10 - 18t^2 rang<= m/s é:
a(t) = lang<= 6 + 18t,; 10 - 48t^2,; -36t rang<= m/s²
(b) O vetor aceleração em qualquer instante é:
²

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