Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento: , onde x , y e z são medidos em metros e t em segundos. Ache:
(a) vetor velocidade em qualquer instante ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante t;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe fala sobre o movimento de um ponto no espaço, com as posições nas direções x, y e z definidas por funções do tempo . A matéria envolvida aqui é Cinemática, que estuda o movimento sem considerar suas causas. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar calcular as derivadas dessas funções em relação ao tempo. Isso nos dará o vetor velocidade e o vetor aceleração, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor velocidade. Ele nos mostra quão rápido e em que direção o ponto está se movendo em qualquer instante . Matematicamente, o vetor velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
As funções de posição são:
Vamos calcular a derivada de cada uma delas.
Passo 3
Calculando a derivada de vx(t) = dxdt = ddt(3t^2 + 3t^3) = 6t + 9t^2 :
Passo 4
Calculando a derivada de vy(t) = dydt = ddt(5t^2 - 4t^4) = 10t - 16t^3 :
Passo 5
Calculando a derivada de vz(t) = dzdt = ddt(10t - 6t^3) = 10 - 18t^2 :
Passo 6
Agora, juntando tudo, o vetor velocidade v(t) = lang<= 6t + 9t^2,, 10t - 16t^3,, 10 - 18t^2 rang<= fica:
Passo 7
Agora, vamos para o vetor aceleração. A aceleração indica como a velocidade está mudando com o tempo. Para encontrar a aceleração, precisamos derivar novamente o vetor velocidade em relação ao tempo.