Se d=a+b+(-c), é verdade que
(a) a+(-d)=c+(-b)?
(b) a=(-b)+d+c e(c) c+(-d)=a+b ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos os vetores a, b, c e d relacionados pela equação d = a + b + (-c). Nosso objetivo é verificar se as afirmações (a) e (b) são verdadeiras usando esta relação. Para isso, vamos precisar entender como manipular vetores e usar as propriedades da adição e subtração de vetores.

Passo 2

Parte (a): Queremos verificar se a + (-d) = c + (-b).
Primeiro, vamos substituir d pela expressão dada:
a + (-d) = a + ( - (a + b + (-c)))
Agora, simplificamos dentro dos parênteses:
- (a + b - c) = -a - b + c
Então, temos:
a + (-d) = a + (-a - b + c)
Agora, somamos os vetores:
a - a - b + c = 0 - b + c = c - b
Portanto, a + (-d) = c + (-b) é verdadeiro.

Passo 3

Parte (b): Precisamos verificar duas igualdades:
  1. a = (-b) + d + c
  2. c + (-d) = a + b
Vamos verificar a primeira igualdade:
Substituindo d na expressão:
a = (-b) + (a + b - c) + c
Simplificando:
- b + a + b - c + c = a
Os termos - b e + b se cancelam, assim como - c e + c, restando apenas a = a, que é verdadeiro.
Agora, vamos verificar a segunda igualdade:
c + (-d) = a + b
Substituindo d:
c + (- (a + b - c)) = a + b
Simplificando dentro dos parênteses:
- (a + b - c) = -a - b + c
Então:
c + (-a - b + c) = a + b
Somando os vetores:
c - a - b + c = 2c - a - b
Para que isso seja igual a a + b, precisaríamos que 2c - a - b = a + b, o que implica que 2c = 2a + 2b, ou seja, c = a + b. Porém, isso não foi dado no enunciado, então essa igualdade não necessariamente é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) A primeira igualdade é verdadeira, mas a segunda não é necessariamente verdadeira.

Exercícios relacionados