r(t)=(4 b t^3) i^wed>=+(c t^2) j. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
© O vetor aceleração média entre t=0 e t=1 s.
(d) O tempo, quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 o com o eixo Ox+.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem um vetor posição definido por r(t) = (4 b t^3) i + (c t^2) j, onde b e c são constantes positivas. O exercício pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração em qualquer instante, a aceleração média entre t=0 e t=1 segundo, e o tempo em que a velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo Ox. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, e um pouco de trigonometria para o último item.

Passo 2

(a) Encontrar o vetor velocidade em um instante qualquer
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Basicamente, a gente deriva cada componente de r(t).
Então, temos:
v(t) = dr(t)dt = ddt(4bt^3) i + ddt(ct^2) j
Derivando cada termo:
ddt(4bt^3) = 12bt^2
ddt(ct^2) = 2ct
Portanto:
v(t) = (12bt^2) i + (2ct) j

Passo 3

(b) Encontrar o vetor aceleração em um instante qualquer
A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada do vetor posição.
Vamos derivar v(t):
a(t) = dv(t)dt = ddt(12bt^2) i + ddt(2ct) j
Derivando cada termo:
ddt(12bt^2) = 24bt
ddt(2ct) = 2c
Então:
a(t) = (24bt) i + (2c) j

Passo 4

© Determinar o vetor aceleração média entre t=0 e t=1 segundo
A aceleração média é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo.
Primeiro, encontramos a velocidade nos instantes t=0 e t=1.
Para t=0:
v(0) = (12b cdot 0^2) i + (2c cdot 0) j = 0
Para t=1:
v(1) = (12b cdot 1^2) i + (2c cdot 1) j = 12b i + 2c j
Agora, a variação da velocidade:
De
O intervalo de tempo é De segundo.
Então, a aceleração média:
amédia = Deé

Passo 5

(d) Encontrar o tempo quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo Ox+
Quando o vetor velocidade forma um ângulo de 45 graus com o eixo x, isso significa que as componentes vx e vy são iguais em módulo.
Do vetor velocidade que encontramos:
v(t) = 12bt^2 i + 2ct j
Portanto:
vx = 12bt^2
vy = 2ct
Para o ângulo ser 45 graus:
vx = vy
Então:
12bt^2 = 2ct
Dividindo ambos os lados por 2t (considerando t neq 0):
6bt = c
Isolando t:
t = c6b

Resposta

(a) O vetor velocidade é v(t) = 12bt^2 i + 2ct j.
(b) O vetor aceleração é a(t) = 24bt i + 2c j.
© A aceleração média entre t=0 e t=1 segundo é amédia = 12b i + 2c jé.
(d) O tempo quando a velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo Ox+ é t = dfracc6b.

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