. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
© O vetor aceleração média entre
.
(d) O tempo, quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 o com o eixo
.
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
© O vetor aceleração média entre
(d) O tempo, quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 o com o eixo
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem um vetor posição definido por
, onde
e
são constantes positivas. O exercício pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração em qualquer instante, a aceleração média entre
e
segundo, e o tempo em que a velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, e um pouco de trigonometria para o último item.
Passo 2
(a) Encontrar o vetor velocidade em um instante qualquer
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Basicamente, a gente deriva cada componente de
.
Então, temos:
Derivando cada termo:
Portanto:
Passo 3
(b) Encontrar o vetor aceleração em um instante qualquer
A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada do vetor posição.
Vamos derivar
:
Derivando cada termo:
Então:
Passo 4
© Determinar o vetor aceleração média entre
e
segundo
A aceleração média é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo.
Primeiro, encontramos a velocidade nos instantes
e
.
Para
:
Para
:
Agora, a variação da velocidade:
O intervalo de tempo é
segundo.
Então, a aceleração média:
Passo 5
(d) Encontrar o tempo quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo
Quando o vetor velocidade forma um ângulo de 45 graus com o eixo x, isso significa que as componentes
e
são iguais em módulo.
Do vetor velocidade que encontramos:
Portanto:
Para o ângulo ser 45 graus:
Então:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Isolando
:
Resposta
(a) O vetor velocidade é
.
(b) O vetor aceleração é
.
© A aceleração média entre
e
segundo é
.
(d) O tempo quando a velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo
é
.
Exercícios relacionados
Se
, é verdade que
(a) ?
(b) ?
(a)
(b)
Um corpo move-se ao longo de uma reta de acordo com a lei:
. Se
quando
, determinar o valor de x quando
. Determinar, também, a aceleração neste instante.
Dois vetores são dados por
. Determine (a)
, (b)
, © (a)
)
(d) a componente de
em relação a
. [Sugestäo: para resolver o item (d), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18.]
Descreva dois vetores
e
tais que
(a) ;
(b) ;
© .
(a)
(b)
©