. Sabendo que b e c são constantes positivas, Determine:
(a) O vetor velocidade em um instante qualquer;
(b) O vetor aceleração em um instante qualquer;
© O vetor aceleração média entre .
(d) O tempo, quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 o com o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem um vetor posição definido por , onde e são constantes positivas. O exercício pede para a gente encontrar a velocidade, a aceleração em qualquer instante, a aceleração média entre e segundo, e o tempo em que a velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais para encontrar velocidade e aceleração, e um pouco de trigonometria para o último item.

Passo 2

(a) Encontrar o vetor velocidade em um instante qualquer
A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Basicamente, a gente deriva cada componente de .
Então, temos:
Derivando cada termo:
Portanto:

Passo 3

(b) Encontrar o vetor aceleração em um instante qualquer
A aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada do vetor posição.
Vamos derivar :
Derivando cada termo:
Então:

Passo 4

© Determinar o vetor aceleração média entre e segundo
A aceleração média é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo.
Primeiro, encontramos a velocidade nos instantes e .
Para :
Para :
Agora, a variação da velocidade:
O intervalo de tempo é segundo.
Então, a aceleração média:
é

Passo 5

(d) Encontrar o tempo quando o vetor velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo
Quando o vetor velocidade forma um ângulo de 45 graus com o eixo x, isso significa que as componentes e são iguais em módulo.
Do vetor velocidade que encontramos:
Portanto:
Para o ângulo ser 45 graus:
Então:
Dividindo ambos os lados por (considerando ):
Isolando :

Resposta

(a) O vetor velocidade é .
(b) O vetor aceleração é .
© A aceleração média entre e segundo é é.
(d) O tempo quando a velocidade faz um ângulo de 45 graus com o eixo é .

Exercícios relacionados

Se , é verdade que
(a) ?
(b) ?
Um corpo move-se ao longo de uma reta de acordo com a lei: . Se quando , determinar o valor de x quando . Determinar, também, a aceleração neste instante.
Dois vetores são dados por . Determine (a) , (b) , © (a) ) (d) a componente de em relação a . [Sugestäo: para resolver o item (d), considere a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18.]
Descreva dois vetores e tais que
(a) ;
(b) ;
© .