Um corpo esta se movendo de tal forma que sua velocidade apos t segundos é:v(t)=10t+9t2. Calcule a distância (em metros) desse corpo após 2 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um corpo cuja velocidade em função do tempo é dada por $ v(t) = 10t + 9t^2 $. O que precisamos fazer é calcular a distância que esse corpo percorre após 2 segundos. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que na física nos ajuda a encontrar a distância a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distância percorrida ($ s $) é a área sob o gráfico da função velocidade em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que vamos integrar a função $ v(t) $ de 0 a 2 segundos. A fórmula fica assim:
s

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão de $ v(t) $ na integral:
v(t)
Isso significa que vamos integrar termo por termo.

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente:
  1. A integral de $ 10t $ em relação a $ t $ é $ \frac{10}{2}t^2 = 5t^2 $.
  2. A integral de $ 9t^2 $ em relação a $ t $ é $ \frac{9}{3}t^3 = 3t^3 $.
Então, a integral completa fica:
10t

Passo 5

Agora, vamos calcular esse resultado no intervalo de 0 a 2 segundos:
s = (5(2)^2 + 3(2)^3) - (5(0)^2 + 3(0)^3)
Simplificando:
s = (5 times 4 + 3 times 8) - (0 + 0) = (20 + 24) = 44 metros

Resposta

A distância percorrida pelo corpo após 2 segundos é de 44 metros.

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