Uma variável aleatória de um experimento aleatório é chamda de X. Seja X tal que f ( x ) = 2 x , 0 < x < 1 . Determine a distribuição de Y = 3 X + 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade $ f(x) = 2x $ no intervalo $ 0 < x < 1 $. Queremos descobrir qual é a distribuição de uma nova variável aleatória $ Y $ definida por $ Y = 3X + 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de transformação de variáveis aleatórias e calcular a nova função de densidade de $ Y $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de densidade de $ X $. A função $ f(x) = 2x $ para $ 0 < x < 1 $ significa que $ X $ é uma variável contínua que assume valores entre 0 e 1, e a probabilidade de $ X $ estar em um certo intervalo dentro desse intervalo é dada por essa função. É importante lembrar que a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 deve ser igual a 1, garantindo que é uma distribuição válida.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distribuição de $ Y = 3X + 2 $. Essa é uma transformação linear da variável $ X $. Para encontrar a função de densidade de $ Y $, precisamos usar a técnica de mudança de variável. Basicamente, vamos expressar $ X $ em termos de $ Y $ e ajustar a função de densidade de acordo.
Passo 4
Vamos resolver a equação $ Y = 3X + 2 $ para $ X $:
Agora, vamos calcular a derivada de $ X $ em relação a $ Y $:
A função de densidade de $ Y $, $ f_Y(y) $, é dada por:
Substituindo $ f_X(x) = 2x $:
Resposta
A distribuição de $ Y = 3X + 2 $ é dada por: