*Em um corpo ordenado, se
, mostre que
. Mais geralmente, mostre que
sempre que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que, se temos dois números ordenados onde
, então
. De forma mais geral, precisamos provar que
sempre que
e
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades de desigualdades e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão
. Isso é uma combinação linear de
e
, onde
e
são os coeficientes que somam 1. Como
, sabemos que
é um peso que dá mais importância para
quando
é menor, e mais para
quando
é maior.
Passo 3
Vamos verificar se
. Subtraindo
de ambos os lados:
Como
e
, o termo
. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
. Subtraindo
de ambos os lados:
Como
, temos
, e como
, então
. Portanto,
.
Resposta
Assim, mostramos que
sempre que
e
.