*Em um corpo ordenado, se a < b, mostre que a < 1/3 a + 2/3 b < b. Mais geralmente, mostre que
a < r a + (1 - r) b < b
sempre que a < b e 0 < r < 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para mostrar que, se temos dois números ordenados onde , então . De forma mais geral, precisamos provar que sempre que e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente propriedades de desigualdades e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Isso é uma combinação linear de e , onde e são os coeficientes que somam 1. Como , sabemos que é um peso que dá mais importância para quando é menor, e mais para quando é maior.

Passo 3

Vamos verificar se . Subtraindo de ambos os lados:
Como e , o termo . Então, .

Passo 4

Agora, vamos verificar se . Subtraindo de ambos os lados:
Como , temos , e como , então . Portanto, .

Resposta

Assim, mostramos que sempre que e .

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