Seja
um corpo ordenado. Dados
, prove que
é arquimediano se, e somente se,
tal que
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Vamos analisar o enunciado: temos um corpo ordenado
e elementos
pertencentes a esse corpo, sendo
. O objetivo é provar que
é arquimediano se, e somente se, existe um número natural
tal que
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um corpo ordenado, o que significa ser arquimediano e como relacionar essas definições com a existência de tal
. Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.
Passo 2
Entendendo o Corpo Ordenado e a Propriedade Arquimediana
Um corpo ordenado é um conjunto onde podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir números (exceto por zero), além de ter uma ordem definida que é compatível com as operações.
A propriedade Arquimediana de um corpo ordenado basicamente afirma que não existem números infinitamente grandes ou pequenos dentro desse corpo. Formalmente, dizemos que
é arquimediano se, para todo
, existe um número natural
tal que
. Isso evita que existam elementos “infinitamente pequenos” como
para todo
natural, pois eventualmente algum
será menor que qualquer
.
Passo 3
Direção 1: Se
é Arquimediano, então Existe
com
Assumindo que
é arquimediano, queremos mostrar que existe um
tal que
.
-
Propriedade Arquimediana Aplicada a
: Como é arquimediano, para qualquer número em , existe um número natural tal que . -
Rearranjando a Inequação: Se
, então multiplicando ambos os lados por (que é positivo) temos . -
Isolando
: Isso implica que . -
Escolhendo
: Podemos escolher , então temos se . -
Existência de
: Como cresce exponencialmente, existe sempre um natural tal que , garantindo que .
Passo 4
Direção 2: Se Existe
com
, então
é Arquimediano
Agora, assumimos que existe algum
tal que
. Precisamos provar que
é arquimediano.
-
Inequação Dada: Sabemos que
e . -
Invertendo a Inequação: Como todos os termos são positivos, podemos inverter as desigualdades mantendo a direção:
-
Aplicando a Propriedade Arquimediana: Para provar que
é arquimediano, precisamos mostrar que para qualquer , existe um natural tal que . -
Escolhendo : Como
e sabemos que , podemos multiplicar por ambos os lados para obter . -
Generalizando para Qualquer
: Para qualquer , podemos escolher um múltiplo adequado de que seja maior que , garantindo que sempre haverá um número natural tal que . -
Conclusão: Portanto, a existência de tal
implica que satisfaz a propriedade arquimediana.
Resposta
Assim, demonstramos que um corpo ordenado
é arquimediano se, e somente se, existe um número natural
tal que
. Portanto, a propriedade arquimediana de
está diretamente relacionada à existência de tal
.