Seja K um corpo ordenado. Dados a, b em K, com a > 0, prove que K é arquimediano se, e somente se, existe n0 em N tal que
0 < 1/2^(n0) < e

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Vamos analisar o enunciado: temos um corpo ordenado K e elementos a, b pertencentes a esse corpo, sendo . O objetivo é provar que K é arquimediano se, e somente se, existe um número natural n0 tal que
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um corpo ordenado, o que significa ser arquimediano e como relacionar essas definições com a existência de tal n0. Vamos resolver isso passo a passo, explicando cada conceito conforme avançamos.

Passo 2

Entendendo o Corpo Ordenado e a Propriedade Arquimediana
Um corpo ordenado é um conjunto onde podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir números (exceto por zero), além de ter uma ordem definida que é compatível com as operações.
A propriedade Arquimediana de um corpo ordenado basicamente afirma que não existem números infinitamente grandes ou pequenos dentro desse corpo. Formalmente, dizemos que K é arquimediano se, para todo x em K, existe um número natural n tal que . Isso evita que existam elementos “infinitamente pequenos” como para todo n natural, pois eventualmente algum será menor que qualquer .

Passo 3

Direção 1: Se K é Arquimediano, então Existe n0 com
Assumindo que K é arquimediano, queremos mostrar que existe um n0 pertence a N tal que .
  1. Propriedade Arquimediana Aplicada a e: Como K é arquimediano, para qualquer número em K, existe um número natural n tal que .
  2. Rearranjando a Inequação: Se , então multiplicando ambos os lados por e (que é positivo) temos .
  3. Isolando e: Isso implica que .
  4. Escolhendo n0: Podemos escolher , então temos se .
  5. Existência de n0: Como 2^n cresce exponencialmente, existe sempre um n0 natural tal que , garantindo que .

Passo 4

Direção 2: Se Existe n0 com , então K é Arquimediano
Agora, assumimos que existe algum n0 pertence a N tal que . Precisamos provar que K é arquimediano.
  1. Inequação Dada: Sabemos que e .
  2. Invertendo a Inequação: Como todos os termos são positivos, podemos inverter as desigualdades mantendo a direção:
  1. Aplicando a Propriedade Arquimediana: Para provar que K é arquimediano, precisamos mostrar que para qualquer , existe um natural n tal que .
  2. Escolhendo : Como e sabemos que , podemos multiplicar por ambos os lados para obter e.
  3. Generalizando para Qualquer : Para qualquer x, podemos escolher um múltiplo adequado de que seja maior que , garantindo que sempre haverá um número natural tal que x.
  4. Conclusão: Portanto, a existência de tal n implica que satisfaz a propriedade arquimediana.

Resposta

Assim, demonstramos que um corpo ordenado K é arquimediano se, e somente se, existe um número natural n0 tal que . Portanto, a propriedade arquimediana de K está diretamente relacionada à existência de tal n0.

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