*Seja
um corpo ordenado arquimediano e
tais que
. Prove que
Passo 1
Vamos resolver um problema de Álgebra envolvendo corpos ordenados arquimedianos. O enunciado nos pede para provar que, dado dois elementos positivos
e
em um corpo ordenado arquimediano
com
, existe um número natural
tal que
. Para isso, vamos precisar entender o que é um corpo ordenado arquimediano e aplicar o Princípio Arquimediano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um corpo ordenado arquimediano. Um corpo ordenado é um conjunto onde podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero), e também podemos comparar os elementos com uma ordem que respeita essas operações. Arquimediano significa que não existem elementos infinitamente grandes ou pequenos em relação a outros; formalmente, para quaisquer
em
, existe um número natural
tal que
.
Passo 3
Aplicando o princípio arquimediano ao nosso caso, temos
e
. Queremos encontrar um
que satisfaça
. Segundo o princípio, como
é positivo, multiplicando-o por números naturais cada vez maiores, eventualmente superaremos qualquer
fixo.
Passo 4
Vamos formalizar isso: considerando que
e
, pelo princípio arquimediano, existe
tal que
. Isso significa que multiplicando
por esse
, conseguimos um múltiplo maior que
.
Resposta
Existe um número natural
tal que
, conforme provado usando o princípio arquimediano.