*Seja K um corpo ordenado arquimediano e a, b pertencem a K tais que 0 < a < b. Prove que
existe n0 em N tal que b < n0 * a

Passo 1

Vamos resolver um problema de Álgebra envolvendo corpos ordenados arquimedianos. O enunciado nos pede para provar que, dado dois elementos positivos e em um corpo ordenado arquimediano com , existe um número natural tal que . Para isso, vamos precisar entender o que é um corpo ordenado arquimediano e aplicar o Princípio Arquimediano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um corpo ordenado arquimediano. Um corpo ordenado é um conjunto onde podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir (exceto por zero), e também podemos comparar os elementos com uma ordem que respeita essas operações. Arquimediano significa que não existem elementos infinitamente grandes ou pequenos em relação a outros; formalmente, para quaisquer em , existe um número natural tal que .

Passo 3

Aplicando o princípio arquimediano ao nosso caso, temos e . Queremos encontrar um que satisfaça . Segundo o princípio, como é positivo, multiplicando-o por números naturais cada vez maiores, eventualmente superaremos qualquer fixo.

Passo 4

Vamos formalizar isso: considerando que e , pelo princípio arquimediano, existe tal que . Isso significa que multiplicando por esse , conseguimos um múltiplo maior que .

Resposta

Existe um número natural tal que , conforme provado usando o princípio arquimediano.

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