Um corpo oscila com um MHS ao longo do eixo dos x. O seu deslocamento varia com o tempo de acordo com a equação:
x(t)=2 cos (2 pi t+pi4)
Determine:
a) a amplitude, frequência e período do movimento
b) Calcule o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo para t=0,5 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um movimento harmônico simples (MHS) de um corpo ao longo do eixo dos $ x $. A equação que descreve o deslocamento desse corpo no tempo é:
x
Vamos precisar entender os conceitos de amplitude, frequência, período, além de calcular deslocamento, velocidade e aceleração em um dado instante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude do movimento. A amplitude é simplesmente o coeficiente que está multiplicando a função cosseno na equação de $ x(t) $. No nosso caso, a amplitude $ A $ é:
x(t)
Ela representa a máxima distância que o corpo alcança a partir da posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a frequência do movimento. A frequência $ f $ está relacionada com o coeficiente de $ t $ dentro do argumento do cosseno. A equação geral do MHS é:
f
Comparando com a nossa equação, vemos que:
t
Resolvendo para $ f $:
x(t) = A cos(2pi f t + phi)
Isso significa que o corpo completa uma oscilação por segundo.

Passo 4

O período $ T $ é o inverso da frequência:
T
Então, o período do movimento é de 1 segundo.

Passo 5

Agora, vamos para a parte B do exercício. Precisamos calcular o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo no instante $ t = 0,5, s $.
Primeiro, o deslocamento $ x(t) $ já está dado pela equação:
t = 0,5, s
Vamos calcular isso.

Passo 6

Calculando $ x(0,5) $:
x(0,5)
Sabendo que $ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, temos:
x(0,5) = 2 cos(pi + pi4) = 2 cos(5pi4)

Passo 7

Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a função de deslocamento em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = -2 times 2pi sin(2pi t + pi4) = -4pi sin(2pi t + pi4)
Agora, calculamos $ v(0,5) $:
v(0,5)
Sabendo que $ \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, temos:
v(0,5) = -4pi sin(pi + pi4) = -4pi sin(5pi4)

Passo 8

Por último, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt = -4pi times 2pi cos(2pi t + pi4) = -8pi^2 cos(2pi t + pi4)
Calculando $ a(0,5) $:
a(0,5)
Com $ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
a(0,5) = -8pi^2 cos(pi + pi4) = -8pi^2 cos(5pi4)

Resposta

a) Amplitude: $ 2, m $
Frequência: $ 1, Hz $
Período: $ 1, s $
b) Para $ t = 0,5, s $:
Deslocamento: $ -\sqrt{2}, m $
Velocidade: $ 2\pi \sqrt{2}, m/s $
Aceleração: $ 4\pi^2 \sqrt{2}, m/s^2 $

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