Um corpo oscila com um MHS ao longo do eixo dos
. O seu deslocamento varia com o tempo de acordo com a equação:
Determine:
a) a amplitude, frequência e período do movimento
b) Calcule o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo para
a) a amplitude, frequência e período do movimento
b) Calcule o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um movimento harmônico simples (MHS) de um corpo ao longo do eixo dos $ x $. A equação que descreve o deslocamento desse corpo no tempo é:
Vamos precisar entender os conceitos de amplitude, frequência, período, além de calcular deslocamento, velocidade e aceleração em um dado instante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a amplitude do movimento. A amplitude é simplesmente o coeficiente que está multiplicando a função cosseno na equação de $ x(t) $. No nosso caso, a amplitude $ A $ é:
Ela representa a máxima distância que o corpo alcança a partir da posição de equilíbrio.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a frequência do movimento. A frequência $ f $ está relacionada com o coeficiente de $ t $ dentro do argumento do cosseno. A equação geral do MHS é:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
Resolvendo para $ f $:
Isso significa que o corpo completa uma oscilação por segundo.
Passo 4
O período $ T $ é o inverso da frequência:
Então, o período do movimento é de 1 segundo.
Passo 5
Agora, vamos para a parte B do exercício. Precisamos calcular o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo no instante $ t = 0,5, s $.
Primeiro, o deslocamento $ x(t) $ já está dado pela equação:
Vamos calcular isso.
Passo 6
Calculando $ x(0,5) $:
Sabendo que $ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, temos:
Passo 7
Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a função de deslocamento em relação ao tempo:
Agora, calculamos $ v(0,5) $:
Sabendo que $ \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, temos:
Passo 8
Por último, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando $ a(0,5) $:
Com $ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $:
Resposta
a) Amplitude: $ 2, m $
Frequência: $ 1, Hz $
Período: $ 1, s $
Frequência: $ 1, Hz $
Período: $ 1, s $
b) Para $ t = 0,5, s $:
Deslocamento: $ -\sqrt{2}, m $
Velocidade: $ 2\pi \sqrt{2}, m/s $
Aceleração: $ 4\pi^2 \sqrt{2}, m/s^2 $
Deslocamento: $ -\sqrt{2}, m $
Velocidade: $ 2\pi \sqrt{2}, m/s $
Aceleração: $ 4\pi^2 \sqrt{2}, m/s^2 $